Ещё одна логическая ошибка, которую делают очень многие — это бездумное приравнивание импликации к следствию. Модель:

— Y.
— Считаешь ли ты также справедливым X?
— Да.
Вывод, который делает дурак: «Он думает, что Y из-за того, что X!»

Актуальный пример (в нём сосредоточена мысль этой заметки, всё остальное — приманка для комментаторов):

— Длинное тире в диапазонах лучше, чем короткое.
— А есть ли в русской типографике вообще традиция использовать короткое тире?
— Нет, такой традиции нет.
Вывод, который делает дурак: «Он думает, что раз короткое тире в русской типографике раньше не использовалось, то и теперь нельзя!»

Импликация — это логическая операция, результат которой ложен тогда и только тогда антецедент истинен, а консеквент ложен. Следствие — более сложная категория; чтобы из высказывания X следовало высказывание Y, необходимо, чтобы X имплицировало¹ Y, а также чтобы была показана связь между X и Y и то, что наличие такого рода связи между любыми другими двумя высказываниями всегда обеспечивает истинность их импликации. Последнюю мысль можно выразить несколько более формально, перейдя от высказываний к формулам логики, но мы этим заниматься не будем.

¹ Глагол имплицировать используется в значении «образовывать истинное высказывание с помощью логической операции импликации».

Бывают истинные утверждения, между которыми нет никакой связи. Из одного из них не может следовать другое, однако их импликация истинна. Из того, что Москва — наиболее населённый город России не следует, что жи/ши пишется с и (оба высказывания истинны, но они никак не связаны). Из того, что Москва — наиболее населённый город России не следует также и то, что Москва — российская столица (оба высказывания истинны, но их связь неуниверсальна, так как бывают и нестолицы, являющиеся наиболее населёнными городами своих стран). Зато из того, что Москва — наиболее населённый город России, следует, например, что население Челябинска меньше населения Москвы.

Важный смысл импликации в том, что истина не может имплицировать ложь, а ложное утверждение имплицирует любое. Именно поэтому ложные высказывания бесполезны в доказательствах, а вовсе не потому, что ложь «хуже», чем истина.

Для логической импликации достаточно знать логические значения имплицируемых высказываний. Всё, что мы можем сказать про импликацию — это что 0→0; 0→1; не (1→0); 1→1. Для следствия необходимо знать ещё и о чём говорится в высказывании. Поэтому механизм следствия позволяет имея одно высказывание выводить из него другое (возможен вопрос: «Что из этого следует?» с полезным ответом). Механизм импликации этого не позволяет (ответ на аналогичный вопрос будет либо: «Всё, что угодно», если антецедент ложен, либо «Совершенно любое истинное высказывание», если антецедент истинен).

Но самое интересное, что не только импликации, но даже следствия Y из X недостаточно, чтобы утверждать, что кто-то пришёл к выводу Y, именно основываясь на X. Ход рассуждений мог быть каким угодно. Следует отметить, что огромное количество людей совершенно неспособны аккуратно вести дискуссию и внимательно следить за тем, что в ней происходит; большинство этих людей ещё и не осознают эту свою неспособность.

С людьми, чьи интеллект и кругозор существенно превосходят мой, мне довольно легко общаться. Почти исключено, чтобы такой человек смог поставить меня в тупик. Но вот тупостью меня очень легко обезоружить.

Вчера в цветочном магазинчике, значит, прошу розу:

— Только подберите, пожалуйста, какую-нибудь, чтобы у неё листки не были оборваны.
— Вы думаете, они все идеальные, что ли?

Всё, я в ступоре. Что за говно в голове у человека? Если бы я думал, что они все идеальные, как бы мне могло прийти в голову обратиться с той просьбой, с которой я обратился?

Мне нужно время, чтобы встроиться в эту извращённую систему представлений о природе вещей, которая сложилась у продавшицы, чтобы что-то ответить.

— Нет; я хочу, чтобы для меня вы нашли идеальную.

По крайней мере, розой я в итоге остался совершенно доволен.

Несмотря на то, что написанное в заголовке в высшей степени очевидно, нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда люди действуют, забыв об этом. Это случается в диалогах-спорах, построенных по схеме:

— X.
— Нет, X ложно.
— Но это лишь потому, что Y!

После такого поворота мой мозг отказывается работать, потому, что совершенно непонятно, что можно дальше сказать. Человек вдруг не осознавая этого доказал тебе, что он ошибся в предыдущей реплике. Тем временем, тебе и до того было очевидно, что он ошибался.

— Я никогда не превышаю скорость.
— Ты превышал скорость, когда мы ехали на встречу.
— Но ведь мы опаздывали!

— За тебя всё время приходится доделывать.
— Вообще-то, последние 4 работы я доделывал за тебя.
— Ну так у меня же сессия!

Это жесть какая-то. Как будто кто-то спрашивал, почему именно ты неправ. Я просто говорю, что ты неправ, мне наплевать, почему!

Я знаю, что если можно давать ссылку, лучше дать ссылку, чем копипэйстить контент себе. Однако поскольку ссылка ведёт на форум, никакой уверенности в том, что она проживёт долгое время, нет. Поэтому, копипэйст.

Итак, тест (правильные ответы выделять мышкой).

1. Некоторые улитки являются горами. Все горы любят кошек. Значит, все улитки любят кошек.
а) правильно
б) неправильно
Правильный ответ:  б 

2. Все крокодилы умеют летать. Все великаны являются крокодилами. Значит, все великаны могут летать.
а) правильно
б) неправильно
Правильный ответ:  а 

3. Некоторые головки капусты - паровозы. Некоторые паровозы играют на рояле. Значит, некоторые головки капусты играют на рояле.
a) правильно
б) неправильно
Правильный ответ:  б 

4. Две поляны никогда не похожи одна на другую. Сосны и ели выглядят совершенно одинаково. Значит, сосны и ели не являются двумя полянами.
а) правильно
б) неправильно
Правильный ответ:  а 

5. Никто из людей не может стать президентом, если у него красный нос. У всех людей нос красный. Значит, никто из людей не может стать президентом.
а) правильно
б) неправильно
Правильный ответ:  а 

6. Все вороны собирают картины. Некоторые собиратели картин сидят в птичьей клетке. Значит, некоторые вороны сидят в птичьей клетке.
a) правильно
б) неправильно
Правильный ответ:  б 

7. Только плохие люди обманывают или крадут. Марина - хорошая.
а) Марина обманывает
б) Марина крадет
в) Марина не крадет
г) Марина обманывает и крадет
д) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ:  в 

8. Все воробьи не умеют летать.У всех воробьев есть ноги.
а) без ног воробьи не могут летать
б) некоторые воробьи не имеют ног
в) все воробьи, у которых есть ноги, не могут летать
г) воробьи не могут летать, потому что у них есть ноги
д) воробьи не могут летать и у них нет ног
е) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ:  в 

9. Некоторые люди - европейцы. Европейцы имеют три ноги.
а) люди с двумя ногами не являются европейцами
б) европейцы, которые являются людьми, иногда имеют три ноги
в) европейцы с двумя ногами иногда являются людьми
г) людей не европейцев, с тремя ногами не бывает
д) люди имеют три ноги потому что они европейцы
е) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ:  а 

10. Цветы - это зеленые звери. Цветы пьют водку.
а) все зеленые звери пьют водку
б) все зеленые звери являются цветами
в) некоторые зеленые звери пьют водку
г) зеленые звери не пьют водку
д) зеленые звери не являются цветами
е) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ:  в 

11. Каждый квадрат круглый. Все квадраты красные.
а) бывают квадраты с красными углами
б) бывают квадраты с круглыми углами
в) бывают круглые красные углы
г) углы и квадраты - круглые и красные
д) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ:  д 

12. Хорошие начальники падают с неба. Плохие начальники могут петь.
а) плохие начальники летят с неба вниз.
б) хорошие начальники, которые умеют летать - могут петь.
в) некоторые плохие начальники не могут петь.
г) некоторые хорошие начальники -плохие, так как они умеют петь.
д) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ:  д 

Интересно, что на первой странице там на все вопросы правильно не ответил никто (дальше я не смотрел). Как это так?

А за ссылку спасибо Дмитрию Кирсанову.

Здесь пишут:

Не все утверждения, говорящие о самих себе, относятся к бессмысленным. Например, утверждение «Это предложение написано по-русски» является истинным, а утверждение «В этом предложении десять слов» ложно. И оба они совершенно осмысленны. Если допускается, что утверждение может говорить и о самом себе, то почему оно не способно со смыслом говорить и о таком своем свойстве, как истинность?

Я считаю утверждения "это утверждение ложно" бессмысленным не потому, что оно неразрешимо, а потому, что оно ссылается само на себя. В этом смысле утверждение "это утверждения истинно" настолько же бессмысленно, хотя того, что некоторые называют "парадоксом", здесь уже нет.

Утверждение "в этом предложении десять слов" не ложно и не истинно. Оно снова бессмысленно. Утверждения логикой рассматриваются в рамках их смысла, а не того, каким цветом они написаны. Рассмотрим простой пример:

В зале сидят представители России и Англии. Выступающий заявляет: "Предложение, которое я сейчас произношу, состоит из девяти слов." Переводчик: "The sentence which I am currently declaring consists of nine words". Итак, с точки зрения русскоязычной аудитории, выступающий сказал правду, а англоязычная считает, что он соврал. При том, что переводчик не изменял смысла сказанного ни на грамм.

Еще немного замечательных "высказываний". Все они - супермегапарадоксы:

• Я читаю это предложение первый раз
• Это предложение отображается на экране 17-дюймового монитора
• Предложения на этой странице не равны по количеству слов данному

Ну и какое все эти шутки имеют отношение к логике, науке?

Умный Evgene подметил, что утверждение "Я всегда говорю неправду" является высказыванием, ибо про него можно точно сказать, что оно ложно.

"Я всегда говорю неправду" - высказывание, причем ложное. Главное здесь слово "всегда". Получается, что в данном случае ты солгал, но иногда (когда настроение хорошее :)) ты говоришь правду.

Ха-ха. Ну да, так и есть. Забавно.

Допустим, что на лицевой стороне карточки написаны только слова: «На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание». Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы должны либо обнаружить обещанное высказывание, либо его нет. Если оно написано на обороте, то оно является либо истинным, либо нет. Однако на обороте стоят слова: «На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание» — и ничего более. Допустим, что утверждение на лицевой стороне истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение на лицевой стороне ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным, и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. В итоге — парадокс.

Блин, ну что за ерундой страдают люди! Ну как можно называть такие вещи парадоксом. Это называется бред, а не парадокс. Если рекурсия не заканчивается, то она сосёт. Вот вам парадокс (импровизация): Я бегаю на 1 км/ч быстрее, чем Вася, а Вася - на 1 км/ч быстрее, чем я. Умные рассуждения: "если я бегаю со скоростью 5 км/ч, то значит Вася - со скоростью 6, но тогда получается, что я бегаю со скоростью 7, но это противоречит сказанному ранее!"

Противоречие, какой кошмар! Это парадокс, базара нет.

Люди, противоречие и парадокс - разные вещи. Если исходить из определения Stigler, что парадокс - это когда мы можем одинаково убедительно доказать два противоположных высказывания, то тогда про двухстроннюю карточку - это не парадокс по определению. Или быть может кто-то возьмется доказать мне (убедительно) и то, что на первой стороне карточки написано истинное утверждение, и то что утверждение на ней ложно?

Логику придумали не для того, чтобы глупости называть парадоксами, а для того, чтобы глупостей не было.

Stigler пишет здесь:

В логике парадокс - два противоположных утверждения, для каждого из которых имеется вполне убедительное доказательство.

Что ж, если мы так определяем парадокс, то я утверждаю, что в логике парадоксов не существует. Хотя, некоторых можно "вполне убедить" не сильно напрягаясь...

Ну или "на этом острове находятся только лжецы".

Почему люди так долго мучаются с этим предложением, придумавают всякие парадоксы и так далее? Его нельзя рассматривать с точки зрения логики, ведь оно не является высказываем. А то, что не является высказыванием, смысла, строго говоря, не имеет. Поэтому из него нельзя делать никаких выводов и, тем более, удивляться их противоречивости.

Как покрасить бесконечную пластинку конечным количеством краски.

На самом деле, ошибку видно невооруженным глазом:

Следовательно, чтобы ее всю покрасить, потребуется бесконечное (по объему или массе) количество краски.

Нет.

Это абсолютно необъяснимо, но штрих (!) Шеффера - это отрицание конъюнкции, а вовсе не дезъюнкции, в то время как любой первоклассник вам скажет, что штрихом в языках программирования обычно обозначается именно дезъюнкция. Раз такое дело, то:

• !A = A|A (впрочем, независимо от)
• AB = ! !(AB) = !(A|B) = (A|B)|(A|B)
• A+B = ! !(A+B) = !(!A!B) = (A|A)|(B|B)

Простите за знак восклицательный, но так проще, чем палку над буквой рисовать. Так, значит отрицание дезъюнкции - это стрелка Пирса. Что ж, это можно запомнить. Вот так:



Таблица истинности для A↑B похожа на разделяющую их стрелку. Теперь, наверное, больше не буду путать их. Для стрелки Пирса:

• !A = A↑A
• AB = ! !(AB) = !(!A↑!B) = (A↑A)↑(B↑B)
• A+B = ! !(A+B) = !(A↑B) = (A↑B)↑(A↑B)