Подписаться на блог
В Твиттере

Реплики и ссылки на заметки

В Фейсбуке

Ссылки на заметки

Вконтакте

Ссылки на заметки

В Телеграме

Ссылки на заметки

В Тумблере

Заметки целиком

В Же-же

Заметки целиком

По РСС

Заметки целиком

Если что-то из этого не работает, напишите мне: ilyabirman@ilyabirman.ru.

Импликация не синонимична следствию

Ещё одна логическая ошибка, которую делают очень многие — это бездумное приравнивание импликации к следствию. Модель:

— Y.
— Считаешь ли ты также справедливым X?
— Да.

Вывод, который делает дурак: «Он думает, что Y из-за того, что X!».

Актуальный пример (в нём сосредоточена мысль этой заметки, всё остальное — приманка для комментаторов):

— Длинное тире в диапазонах лучше, чем короткое.
— А есть ли в русской типографике вообще традиция использовать короткое тире?
— Нет, такой традиции нет.

Вывод, который делает дурак: «Он думает, что раз короткое тире в русской типографике раньше не использовалось, то и теперь нельзя!»

Импликация — это логическая операция, результат которой ложен тогда и только тогда антецедент истинен, а консеквент ложен. Следствие — более сложная категория; чтобы из высказывания X следовало высказывание Y, необходимо, чтобы X имплицировало1 Y, а также чтобы была показана связь между X и Y и то, что наличие такого рода связи между любыми другими двумя высказываниями всегда обеспечивает истинность их импликации. Последнюю мысль можно выразить несколько более формально, перейдя от высказываний к формулам логики, но мы этим заниматься не будем.

1. Глагол имплицировать используется в значении «образовывать истинное высказывание с помощью логической операции импликации».

Бывают истинные утверждения, между которыми нет никакой связи. Из одного из них не может следовать другое, однако их импликация истинна. Из того, что Москва — наиболее населённый город России не следует, что жи/ши пишется с и (оба высказывания истинны, но они никак не связаны). Из того, что Москва — наиболее населённый город России не следует также и то, что Москва — российская столица (оба высказывания истинны, но их связь неуниверсальна, так как бывают и нестолицы, являющиеся наиболее населёнными городами своих стран). Зато из того, что Москва — наиболее населённый город России, следует, например, что население Челябинска меньше населения Москвы.

Важный смысл импликации в том, что истина не может имплицировать ложь, а ложное утверждение имплицирует любое. Именно поэтому ложные высказывания бесполезны в доказательствах, а вовсе не потому, что ложь «хуже», чем истина.

Для логической импликации достаточно знать логические значения имплицируемых высказываний. Всё, что мы можем сказать про импликацию — это что 0→0; 0→1; не (1→0); 1→1. Для следствия необходимо знать ещё и о чём говорится в высказывании. Поэтому механизм следствия позволяет имея одно высказывание выводить из него другое (возможен вопрос: «Что из этого следует?» с полезным ответом). Механизм импликации этого не позволяет (ответ на аналогичный вопрос будет либо: «Всё, что угодно», если антецедент ложен, либо «Совершенно любое истинное высказывание», если антецедент истинен).

Но самое интересное, что не только импликации, но даже следствия Y из X недостаточно, чтобы утверждать, что кто-то пришёл к выводу Y, именно основываясь на X. Ход рассуждений мог быть каким угодно. Следует отметить, что огромное количество людей совершенно неспособны аккуратно вести дискуссию и внимательно следить за тем, что в ней происходит; большинство этих людей ещё и не осознают эту свою неспособность.

Подписаться на блог
Поделиться
Отправить
43 комментария
Александр Голанов

— Илья, отсыпь травы.
— Кто укуренный? Я укуренный?
— Да.

Илья Бирман

Так какой вывод делает дурак в твоём примере? :-)

С. Смирнов

*думает, зачем он вообще открыл комментарии, если и так всё ясно*

А можете до кучи дать живой пример по шаблону «А имплицитно Б»? (Если да — то это круто!)

Илья Бирман

Я не понял вопроса. И что значит «имплицитно»? В смысле, я понимаю, что это про импликацию, но я не понимаю, что антецедент, а что консеквент в таком случае :-)

Павел Малинников

уу, я думал, уже знак рубля обсуждают

Илья Бирман

Задайте вопрос — обсудим и знак рубля. Только в почту. Тут обсуждием импликацию.

Master

Из того, что Илья постит умные вещи еще не значит что все остальные дураки)

Master

ой… только заметил что у тебя вверху слово RSS пишется по-русски
что так?

сначала даже не понял что это за буквы пока не подвел курсор

Илья Бирман

Это русская часть сайта.

По-английски всё написано вот тут: http://ilyabirman.ru/english/.

С. Смирнов

(К предыд.) Если эрэсэс по-русски читается, то так оно и пишется. В русле всего ранее сказанного.

(К №2.) Похоже, я бездумно повторил препода. (А он имел в виду англ. слово imply {подразумевать}.)

Павел Малинников

Проблема есть и большая. Но народная мудрость намекает нам, что рациональнее не обижаться на дураков, нежели призывать их использовать вместо материальной импликации релевантную.

Илья Бирман

Я так и поступаю.

Игорь

Илья, еще, возможно, стоит упомнянуть о том, что из-за особенностей русского языка зачастую семантическое(?) отрицание высказывания построенное с помощью частицы «не» не тождественно логическиму отрицанию этого выражения. Чем мы, в частности, периодически пользовались на уроках информатики посвященных мат.логике.

Алексей Трухин

Постоянно сталкиваюсь с этой проблемой, когда обсуждаю всё-что угодно на форумах и в живых беседах. Особено сильно этим страдают женщины.

Илья Бирман

У меня крайне редко комментируют женщины; на форумах случается писать исключительно редко. Подтвердить, поэтому, не могу.

В целом я не склонен поддерживать идею о меньшей логичности женского мышления.

Александр Голанов

К #1:  Я уверен, что дурак заметит, что связь не универсальна, но засомневается, что лекция по логике, написанная в четыре утра, написана на трезвую голову :)

Илья Бирман

Заметка, написана 3 дня назад, кстати :-)

bes island

«Из того, что Москва — наиболее населённый город России не следует также и то, что Москва — российская столица (оба высказывания истинны, но их связь неуниверсальна, так как бывают и нестолицы, являющиеся наиболее населёнными городами своих стран)».

Илья, извините, но вы смешиваете высказывания с предикатами, и уже одного этого достаточно, чтобы не воспринимать данную заметку сколько-нибудь серьёзно.

Илья Бирман

Я вас извиняю.

Приведите мне пример предиката, не являющегося высказыванием.

Вячеслав Ильинский

— Земля круглая!
— Значит и другие планеты круглые.

—У куба есть ребро
—Это верно для всех его сторон.

bes island

Никакой предикат не является высказыванием.

Высказывание — это нечто, имеющее определённое булево значение (истина или ложь). Предикат — это функция, возвращающая булево значение.

Пример высказывания: в треугольнике со сторонами 3, 4, 5 есть прямой угол.

Пример предиката: треугольник со сторонами a, b, c имеет прямой угол. Это функция, принимающая три положительных вещественных значения a, b, c и возвращающая булево значение. Реализация этого предиката выглядит таким образом: a² = b² + c² ИЛИ b² = a² + c² ИЛИ c² = a² + b².

Илья Бирман

Да, вы правы.

Другой вопрос: что из «Москва — наиболее населённый город России», «Москва — российская столица», «бывают нестолицы, являющиеся наиболее населёнными городами своих стран» не является высказыванием?

bes island

«Москва — наиболее населённый город России» — высказывание (являющееся истиной).
«Москва — российская столица» — высказывание (являющееся истиной).
«Из того, что Москва — наиболее населённый город России, следует, что Москва — российская столица» — высказывание (являющееся истиной).

«Город X является наиболее населённым городом страны Y» — предикат (равный истине для X = Москва и Y = Россия, но равный лжи для X = Луганск и Y = Украина).
«Город X является столицей страны Y» — предикат (равный истине для X = Москва и Y = Россия, но равный лжи для X = Луганск и Y = Украина).
«Из того, что город X является наиболее населённым городом страны Y, следует, что город X является столицей страны Y», — предикат.

«Из того, что Москва — наиболее населённый город России не следует также и то, что Москва — российская столица (оба высказывания истинны, но их связь неуниверсальна, так как бывают и нестолицы, являющиеся наиболее населёнными городами своих стран)» — здесь вы сперва говорите о высказывании, а в скобках внезапно переходите к предикатам. Это называется демагогия.

Илья Бирман

Так где же я перешёл к предикатам, я не вижу? Что из написанного в скобках является предикатом?

Третье из ваших высказываний истинно только если считать понятия «следует» и «имплицирует» синонимами, против чего я как раз выступаю в этой заметке. Однако, поскольку у нас тут формальнологический спор, полагаю, что нас этот нюанс уже не должен спутать. Это замечание скорее для остальных читателей.

bes island

«Бывают нестолицы, являющиеся наиболее населёнными городами своих стран» — это квантификация предиката, являющаяся высказыванием.

Она доказывает, что предикат «Из того, что город X является наиболее населённым городом страны Y, следует, что город X является столицей страны Y» не является тождественно истинным. Но только это.

Вы, вероятно, начиная свои рассуждения, имели в виду опять же высказывание, полученное в результате квантификации этого предиката («Для любого города X и любой страны Y из того, что город X является наиболее населённым городом страны Y, следует, что город X является столицей страны Y»). Это высказывание является ложным. Но этот факт не имеет никакого отношения к тому, что из того, что Москва — наиболее населённый город России, следует, что Москва — российская столица, равно как не опровергает это истинное высказывание.

Илья Бирман

В середине своей заметки я пишу: «Последнюю мысль можно выразить несколько более формально, перейдя от высказываний к формулам логики, но мы этим заниматься не будем». Вы фактически заставляете меня заняться этим, но я буду сопротивляться.

Вы пытаетесь сказать, что импликация двух высказываний истинна, используя слово «следует» для обозначения операции импликации. То, что импликация этих высказываний истинна, совершенно для меня очевидно, и я это сам сказал в заметке.

Из того, что Москва — столица России, не следует, что Москва — российская столица. Утвержая это, я имею в виду, что между этими истинными высказываниями отсутствует причинно-следственная связь. Доказать отсутствие такой связи можно, показав, что ваш предикат не представляет собой тавтологию, т. е. что высказывание, полученное наложением на него квантора общности, ложно.

Роман

Глупо смешивать математическую логику и логику обычных житейских рассуждений.

Банальный пример «В этом бою не выжило ни одного человека» — с житейской точки зрения погибли все, с точки зрения матлогики — все выжили ;)

bes island

Роман, это лингвистический нюанс (двойное отрицание в русском языке является не отрицанием отрицания), а вовсе не «логика обычных житейских рассуждений». В обычных житейских рассуждениях используется ровно та же самая логика, что и в математических учебниках.

Роман

bes island, в математических учебниках часто приравнивают понятия следствия и импликации, а Илья в своем посте только что доказал, что такое приравнивание в обычных рассуждениях неприменимо.

Илья Бирман

Тут дело не в приравнивании, а в терминологи. В конкретном логическом контексте можно взаимозаменяемо употреблять эти слова.

В учебниках логики довольно быстро переходят от высказываний к формулам логики, предикатам и т. д.; вводят понятия аргумента, правильного и неправильного аргументов. Этот аппарат позволяет выразить формально то, что я имею в виду.

Не существует «обычных» и «необычных» рассуждений; рассуждение может либо следовать законам логики, либо быть неправильным :-)

bes island

Роман, Илья доказал только то, что он не считает их разными, а я как раз занимаюсь тем, что пытаюсь его убедить в том, что он ошибается.

Илья, вот именно об этом я и говорю, что стоит перейти к формулам, как немедленно выясняется, что вы говорите вовсе не о различии между имликацией и следствием (каковое отсутствует), а о различии между импликацией высказываний и квантификацией предиката, имплицирующего предикаты.

«Из a следует b» и «для любых x и y из P(x, y) следует Q(x, y)» — найдите десять отличий.

Илья Бирман

Вы ошибаетесь, утверждая, что различий между импликацией и следствием нет.

bes island

Нет, я не ошибаюсь; это вы ошибочно понимаете под следствием квантификацию предиката, имплицирующего предикаты.

Впрочем, вы можете сказать, что хотите ввести свою собственную терминологию в которой есть импликация(a, b) и следствие(P, Q, x, y).

Роман

Илья, я хочу сказать, что импликация неприменима в обычных рассуждениях, т. к. бессмысленна.
Совершено очевидно, что утвеждение
«Москва находится в Китае»→«Москва — столица России»
без каких либо дополнительных условий будет истинным, но при этом какой в нем смысл?
В тоже время в формальных рассуждения, как вы уже сказали, импликацию и следствие можно отжествлять.

Guest

Предлагаю такое определение следствия. Фраза «из a следует b» означает, что выполняются два условия:
1) a эквивалентно b (с точки зрения формальной логики).
2) a происходит раньше b (с точки зрения временной шкалы в реальном мире).

bes island

Guest, ваше определение совершенно неверно в обеих частях.

А: человек Х совершил путешествие из Москвы в Лондон на самолёте.
Б: человек Х когда-нибудь в жизни летал.

Совершенно очевидно, что из А следует Б. При этом эквивалентность не имеет места (может иметь место ситуация «Б и не А»), поэтому первая часть ошибочна.

Совершенно очевидно, что событие А не происходит раньше события Б: либо Х летал когда-нибудь до этого путешествия, либо же Б стало истинным одновременно с А. Поэтому вторая часть тоже ошибочна.

Антон Карев

Илья, посоветуйте хороший учебник по логике для начинающих. На парах так ничего и не понял.

Илья Бирман

Я не знаю, у меня просто была 31-я школа :-)

Кстати, ссылка по теме — http://www.fml31.ru/2008/node/2529

Как в универе логику преподают — это жопа страшная. Начнём с того, что одну и ту же булеву алгебру преподают три раза: сначала под видом алгебры логики, потом под видом алгебры множеств (теория множеств), потом под видом алгебры событий (теория веростностей). И три раза заставляют через жопу доказывать одни и те же теоремы, вместо того, чтобы показать людям один раз таблицы истинностей и уже двигаться дальше.

Guest

to #23 (bes island):
Лично мне совершенно очевидно, что в вашем примере из A не следует Б (при этом A, разумеется, имплицирует Б). Я говорю о причинно-следственной связи, которая без временной шкалы невозможна.
Т. е. в моём определении фраза «из a следует b» означает то же самое, что и «a есть причина b» (или «b происходит потому что a»).

Илья Бирман

Я использую слово «следует» так же как и вы.

Для причинно-следственной связи временная связь необходима (по крайней мере, пока мы не изобрели машину времени), но не достаточна.

bes island

Guest, то есть вы считаете, что из того, что человек совершил путешествие из Москвы в Лондон на самолёте, не следует, что он летал когда-нибудь в жизни?

Guest

#26 (bes island):
Да, считаю. Для меня это всё равно, что сказать «человек X жил, потому что он умер» (это абсолютно верно с точки зрения формальной логики, но неверно с точки зрения причинно-следственной связи). Cogito ergo sum — из той же оперы.

Guest

Добавление: чтобы сделать ваш пример корректным с точки зрения причинно-следственной связи, я могу переформулировать так: «зная, что человек совершил путешествие из Москвы в Лондон на самолёт, можно сделать вывод, что он летал когда-нибудь в жизни».

Роман

Сегодня среда, следовательно вчера был вторник. Это к вопросу о временой шкале ))

Guest

Замечательный пример :-) Принимая в качестве посылки тезис «сегодня среда» и используя логические законы, можно сделать вывод, что вчера был вторник. Кроме того, сегодня среда, потому что вчера был вторник. Но не «вчера был вторник, потому что сегодня среда».

bes island

Полагаю, ошибка в смешивании понятий «причина» и «следствие». Причинно-следственная связь называется причинно-следственной, а не причинноследственной, именно потому, что она одновременно и причинная, и следственная.

Следствие — это ровно то же самое, что импликация. А вот причина — это явление совсем другого порядка (подразумевающая, в частности, выполнение физического принципа причинности, озвученного Guest’ом во второй части своего ошибочного определения).

Из того, что сегодня среда, следует, что вчера был вторник; но то, что сегодня среда, не является причиной того, что вчера был вторник.

Причинно-следственная связь от А к Б имеет место тогда и только тогда, когда из А следует Б и А является причиной Б.

Геннадий

Это, случайно, не камень в мой огород?

Guest

#31 (bes island):
Вы пытаетесь возражать относительно названий термина, а не его содержания.
Вы предлагаете такую систему названий: следствие = импликация; причина — что-то посложнее.
Я предлагаю: импликация — формальная логическая связка; причина и следствие = взаимно обратные понятия (+определение выше).
Это равнозначные системы понятий, если учесть, что вы не дали определение причины в своём понимании. Если вы попытаетесь это сделать, то у вас получится моё определение.

Илья Бирман

Интересно, что хоть ваши мнения и отличаются, в моей системе понятий вы оба неправы :-)

bes island

Guest, да, я именно о том и говорю, что вы ошибочно называете следствием обратную причине зависимость, тогда как следствие является импликацией и к причине отношения не имеет.

С. Смирнов

А почему это «зависимости»?! Причина и следствие (А и Б) — это факты (известные события).
То, что состояние Б наступило как следствие А, ничего не говорит об их взаимосвязи. Так как возможно, что одного только А — было мало.
То, что состояние Б ВСЕГДА имеет место при А (среда всегда идёт за вторником) — по-моему — и означает, что А имплицирует Б.

Guest

to Илья Бирман:
Во-первых, наши мнения не различаются, что bes island подтвердил в комменте #34 (т. е. он признал, что разногласие возникло относительно названий, а не сути). Во-вторых, неясно почему мы неправы в вашей системе понятий и, более того, почему в вашей системе вообще можно что-то доказать. Вы говорите о некой связи, но не объясняете, что это такое, и не говорите, как определяется схожесть связей (самый главный элемент вашей модели). Мне кажется, что если вы всё это строго определите, то у вас получится то же, что и у меня.

Павел Малинников

Ого, дискуссия была горяча. Хотя посыл заметки, вроде бы, глубоко не упрятан: материальная импликация, конечно, не годится для обоснований, она не свободна от парадоксов вроде «Если эта заметка скучнее, чем про музыку, то я папа Карло» :-)

Ну так с парадоксами ведь борьба ведётся. И было бы действительно клёво, если бы Илья написал о критериях определения общего содержания утверждений. Что это? Дедукция? Поделитесь.

С. Смирнов

«Следует отметить, что огромное количество людей совершенно неспособны аккуратно вести дискуссию и внимательно следить за тем, что в ней происходит; большинство этих людей ещё и не осознают эту свою неспособность».

Осознав свою неспособность, с каким лицом я выйду на трибуну?! Это «осознание» непродуктивно.

С. Смирнов

На трибуну — в кавычках! Всё в кавычках:—)

Анти

Похоже на опыты над узбеками :)
А. Лурия в экспедиции в Узбекистан исследовал как неграмотные люди воспринимают силлогизмы вроде

  • Хлопок растет там, где жарко и сухо.
  • В Англии холодно и сыро.
  • Может там расти хлопок или нет?

оказалось, что они не делают те выводы, которые делаем мы
http://nordisk.pp.ru/design/49/

С. Смирнов

Может! Я «узбек»?
(Кверх ногами, бриллиантом: тов. Лурия не сказал: 1) ТОЛЬКО там; 2) на полях; 3) даёт хороший урожай.)
Как говорится, коли рожа крива... Очевидно, не ВСЕ языки широко используют эллиптические обороты.

Master

Если это русская часть сайта, тогда как переводится твоя аббревиатура РСС?

И еще вопрос, мы читаем слева направо и считаем так же. По крайней мере так на доске в первом классе цифры располагались — слева направо. А почему у тебя кнопка Предыдущие заметки находится справа, а не слева?

Илья Бирман

Вы правда хотите узнать ответы на свои вопросы, или просто думаете, что, написав такой комментарий, вы будете выглядеть очень умным?

Master

Выглядеть очень умным хочешь судя по всему ты, я задал конкретные вопросы, которые меня правда интересовали. Но я и не ждал от тебя прямого ответа.

Не трудись отвечать и на это, я потерял интерес к твоему ресурсу и тебе как личности. Спасибо.
Научись уважать людей, у тебя слишком много гордыни.

Илья Бирман

Это всегда очень весело, когда аноним, оставляющий высокомерные комментарии и обращающийся на «ты» к незнакомому человеку, учит уважению.

Если задавать вопросы так, как вы, чтобы на них не хотелось отвечать, а потом «и не ждать прямого ответа», то его, конечно, и не получаешь. А если задать вопрос нормально, то и ответ будет прямой, и уважение, и все другие радости.

Пользовательский интерфейс
Доступен первый раздел
электронного учебника

Популярное