Подписка на блог

РСС — лучше всего

Ещё есть автоматические трансляции в Тумблере и Же-же. Если что-то не работает, напишите мне: ilyabirman@ilyabirman.ru.

Математика

Что почитать на выходных — 144

Это как обычно, что я залайкал в «Инстапейпере»:

  1. Why Snapchat’s Design is Deliberately Confusing. «The machine assumes itself is a big enough deal that it’s your fault if you don’t know».
  2. Медузы и жопы. Красивый рассказ про множество Мандельброта.
  3. Летом Женя подарила мне получасовой полёт. Никита Иванов клёво описывает ощущения.
  4. How Apple Alienated Mac Loyalists. Марк Гурман.
  5. Как устроить свою работу, чтобы было интересно. Конспект недавней лекции Людвига.

А ещё отдельно хочу рассказать вам про блог Даниила Соколовского (Daniel Lesden). Даниил пишет что-то вроде бюрошных советов, но про дело электронного музыканта. В отличие от дизайна, эта тема вообще очень плохо освещена. Он рассказывает про всё, от нюансов настройки конкретных фильтров до отношений между музыкантами и лейблами. У нас к вопросам прикладывают макеты, а у Даниила — кусочки треков:

  1. Kick, bass, and missing drive. «Вот мой трек в фа-мажоре, и мне не нравится, как звучат бочка и бас. Как добавить драйва?»
  2. Psytrance bassline equalization. «У меня бас в ми-миноре с небольшим шумом, и я хочу понять, как правильно эквализировать нижние средние и срезать 12 дБ НЧ-фильтром на 30 Гц и ВЧ-фильтром на 800 Гц. Я немного добавил на уровне 82,4 Гц и уменьшил на уровне 164,8 Гц, и вроде звучит неплохо, но я не уверен, что делаю то, что надо».
  3. Making atmospheric effects. «Как известные пситрансовые музыканты делают спецэффекты?»
  4. Criteria of professional production. DJ-friendly arrangement. Крутые схемы устройства треков.
  5. Rhythm structure basics. Тыща примеров.
  6. What is sound. Энциклопедическая статья.
  7. Label re-released a track without my consent. Is it okay?

Подпишитесь обязательно.

Спасибо спонсору рубрики — брокерской компании Нэттрэйдер. Инвестиции на бирже это не ядерная физика. Попробуйте научиться на бесплатном демосчёте в удобном веб-терминале Tradernet.

Лекция о нерешённых проблемах школьной математики

Какой классный:

У нас примерно такой был преподаватель по теории вероятностей. Если его поймать в коридоре и задать вопрос, он вместе с тобой заходил в аудиторию, мимо которой вы проходили, и начинал писать на доске нужные для ответа вещи. Дмитрий Юрьевич, привет!

2016   видео   лекции   математика

Что почитать на выходных — 129

Вот:

  1. Time’s Interview With Apple CEO Tim Cook. Круто, что он говорит «я», а не «мы» всё время.
  2. How Many Decimals of Pi Do We Really Need? Оказывается, не так уж много: «by cutting pi off at the 15th decimal point... our calculated circumference of the 25 billion mile diameter circle would be wrong by 1.5 inches»
  3. Why I love ugly, messy interfaces  —  and you probably do too. «The answer is that these products do an incredible job of solving their users’ problems, and their complex interfaces are a key reason for their success».
  4. У нас женщин воспитывают как проституток. Довольно поверхностно, но ладно. «Люди называют любовью то, когда без этого человека жить не можешь. А это не любовь, а нужда».
  5. Спасибо без спасибо.

Язык Вольфрама

Стивен Вольфрам рассказывает про свой новый язык программирования. Настоящая магия. Смотреть всем, включая тех, кто вообще не в теме программирования:

Справочник по языку: http://reference.wolfram.com/language/

2014   будущее   видео   математика   программирование
2013   видео   математика

Что почитать на выходных — 53

Ура, выходные. Время читать:

  1. Метроблог: языковое и Метросхема: развлекательное — Людвиг и Егор продолжают веселиться (и передавать мне приветы).
  2. О литрах, людях и умножении и О размерности. Анатолий Воробей рассказывает удивительные вещи о том, что при перестановке множителей кое-что всё-таки меняется. И ещё о том, что писать «км/ч» (то есть, буквально, «километры разделить на часы») в значении «километров в час» — относительно современное изобретение.
  3. Риторические вопросы — зло и Дизайнеры должны верстать. Женя Арутюнов воспитывает коллег.
  4. You don’t need every customer. Марко Армент.
  5. You are not Steve Jobs. Эрин Кейтон.
  6. Уныние. Цинизм. Тоска Илья Яшин комментирует прямую линию с Путиным.
  7. Hyper Text Coffee Pot Control Protocol. Обожаю первоапрельские РФЦ. «418 I’m a teapot».

Хотите стать спонсором рубрики? Пишите: ilyabirman@ilyabirman.ru

Что почитать на выходных — 42

Такое:

  1. Here’s what I learned hanging out with Jason Fried. Куча полезных мыслей, я сразу же отложил себе, чтобы перечитать ещё пару раз.
  2. Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious? Кайф начинается, когда речь заходит об альтернативных алгебраических структурах.
  3. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 257,885,161 − 1. Трудно, конечно, себе представить, что число, состоящие из 17 миллионов цифр, ни на что не делится.
  4. Коллективный Путин против Нельсона Манделы. Ксения Собчак пишет всё правильно.
2013   дизайн продуктов   математика   политика   чтиво

Основная теорема анализа

Как-то мы с отцом ехали вдвоём далеко на машине. А это хороший повод для умной беседы.

Речь зашла об «основных теоремах». Основная теорема арифметики — это что любое целое раскладывается на произведение простых чисел, и единственным образом. Основная теорема алгебры — это что у многочлена столько корней, какой он степени (хотя там с формулировками ад). А основная теорема анализа у меня как-то вылетела тогда из головы.

Отец предположил, что основная теорема анализа — это теорема Ньютона—Лейбница. «Это про что?» — спросил я. Отец: «Точную формулировку не помню, но что-то о том, что интегрирование — это операция, обратная дифференцированию».

Стоп, а это разве не по определению?

Как всегда с этими основными теоремами, сказанное в них кажется очевидным после того, как ты уже это прошёл. Но на самом деле именно основная теорема позволяет нам считать интегрирование и дифференцирование обратными операциями. Дальше пойдут глубоко антинаучные рассуждения, где любой математик найдёт 100500 формальных ошибок, но это сейчас не важно.

Что такое дифференцирование? Это когда мы в каждой точке функции проводим касательную и находим тангенс угла, под которым она проходит к горизонту, вот этого:

Теперь если каждой точке поставить в соответствие найденный тангенс, то получится новая функция, которая называется производной. Напомню, что число e как раз знаменито тем, что производная функции ex равна ex, то есть в каждой точке тангенс угла как раз равен значению самой функции.

Что такое интегрирование? Это нахождение площади фигуры под кривой функции, ограниченной некими вертикальными границами a и b и горизонтальной осью:

Легче всего считать площадь прямоугольника. Можно разбить кривую, например, на пять прямоугольников и сложить их площадь:

Если делить на всё большее число прямоугольников и посмотреть предел суммы площадей, то получится как раз площадь этой фигуры. Эта площадь называется определённым интегралом функции y = f(x) на отрезке [a; b] и обозначается вот так:

Прямо скажем, совсем не очевидно, что фигня про углы и фигня про площадь вообще как-то связаны.

А связаны они вот как. Обратная производной функция называется первообразной. Первообразная от f(x) — это такая функция g(x), что её производная g´(x) = f(x). Например, у функции y = x2 + 8 производная y = 2x. Значит для функции y = x функция y = (x2 / 2) + 4 является первообразной.

Легко заметить, что таких функций бесконечное множество. Например, производная функции y = x2 + 28 это тоже y = 2x. Значит для функции y = x функция (x2 / 2) + 14 тоже является является первообразной. Это логично, ведь производная — это угол в каждой точке, и естественно, что он не меняется от того, на какую высоту мы вертикально поднимаем весь график функции целиком. Значит для функции x первообразная — это x2 / 2 плюс сколько угодно.

Так вот, оказывается, чтобы найти площадь фигуры под функцией y = f(x) в пределах от a до b, нужно взять значения любой из её первообразных g(x) в точках b и a и вычесть одно из другого:

Здесь g — хоть и любая, но всё-таки какая-то одна первообразная, поэтому «сколько угодно» у неё будут одинаковыми, вычтутся друг из друга и на результат не повлияют. Можете взять какую-нибудь простую функцию вроде y = 2x, где площадь и без интегралов легко посчитать в уме, и проверить. Работает!

Эта формула и называется основной теоремой анализа или теоремой Ньютона—Лейбница. Если её доказать, то можно уже называть нахождение первообразной интегрированием и вообще относиться к дифференцированию и интегрированию как к взаимно-обратным операциям.

2013   математика

Что почитать на выходных — 39

Вот что:

  1. Антарктида и Южный полюс. Артемий Лебедев рассказывает о поездке. Крутота.
  2. Формула Эйлера и приближенные методы. Роман Парпалак наглядно объясняет, почему же e = −1. Заодно из его заметки становится понятно, почему же e определяется именно как предел y = (1 + 1 / x)x при x → ∞.
  3. История авторского права в семи частях. Смысл в том, что во все времена защитники авторских прав реально боролись лишь за права посредников, но не авторов и не потребителей.
  4. Everything is my fault. Крутая мировоззренческая концепция.
  5. Page Weight Matters. Почему важно, чтобы страницы весили поменьше.
2012   веб-разработка   жизнь   математика   мир   чтиво

Числа π и e

Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром:

А вот смысл другой важной константы, e, имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590... (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.

Число e по определению — предел функции y = (1 + 1 / x)x при x → ∞:

x y
1 (1 + 1 / 1)1 = 2
2 (1 + 1 / 2)2 = 2,25
3 (1 + 1 / 3)3 = 2,3703703702...
10 (1 + 1 / 10)10 = 2,5937424601...
100 (1 + 1 / 100)100 = 2,7048138294...
1000 (1 + 1 / 1000)1000 = 2,7169239322...
lim× → ∞ = 2,7182818284590...

Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.

Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.

Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = kx. Эта функция обладает уникальным свойством при k = e, которое можно показать графически так:

В точке 0 функция принимает значение e0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e1 = e. Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e). В точке 2 значение e2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.

Среди всех функций y = kx (например, 2x, 10x, πx и т. д.), функция ex — единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (ex)´ = ex. Почему-то именно число e = 2,7182818284590... нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.

Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.

Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:

e + 1 = 0

Почему число 2,7182818284590... в комплексной степени 3,1415926535...i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.

Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.

2012   математика
Ctrl + ↓ Ранее