Необходимый признак
Меня ещё раздражает терминология «необходимый признак» и «достаточный признак». Это придумал какой-то умник-заумник, который хотел, чтобы математика казалась очень сложной штукой, постижимой только теми, у кого есть борода (т. н. консилиумом бородатых дядек). Из этой же когорты (или плеяды) был человек, придумавший понятие конгруэнтности.
У нас в школе это называлось «свойство» и «признак». Свойство — это то, что свойственно объекту, а признак — это то, по чему его можно признать. Термин «необходимый признак» идиотичен хотя бы потому, что признать, например, ряд сходящимся, используя необходимый признак — нельзя. То есть необходимый признак не является признаком вовсе. Это делает его чем-то вроде телефонной трубки, отбойного молотка и стола справок.
Ну и, кроме того, эта терминология заставляет лишний раз задумываться над самой собой, вместо того, чтобы задуматься над сутью вещей. Она заставляет нас смотреть на вещи не с той стороны.
Например, «необходимый признак» равенства треугольников — это попарное равенство углов. Но это необходимый, но не достаточный признак! То есть признать треугольники равными ещё нельзя. То есть — бессмысленная информация.
Эта же информация приобретает смысл при формулировании её нормальным образом, например:
Свойство равных треугольников. У равных треугольников попарно равны все углы.
Теперь, решая какую-то задачу, и дойдя до того, что какие-то треугольники равны, мы сможем сделать выводы о равенстве углов. Или:
Признак неравенства треугольников. Треугольники не равны, если не равны попарно все их углы.
Теперь мы знаем, что если у треугольников попарно не равны все углы, то треугольники не могут быть равны.
Честно говоря я не очень понял откуда ты взял эти термины:)
Дело в том, что всю жизнь это называлось «необходимое условие» и «достаточное условие».
Даже у нас (с тобой:)) в школе это так называлось, ну и соответственно свойством и признаком.
Да, свойство и признак это удобно и просто. Но более привычно звучит так как это написано в, наверное, большинстве источников по любому разделу математики. Бывает формулируются необходимое условия (но не достаточное), достаточное условие (не являющееся необходимым) и необходимое_и_достаточное условие aka критерий (зачем тогда до этого остальные два?:)). А бывает формулируется критерий сразу. Типа:
Для того, чтобы последовательность a1a2a3... была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого eps>0 существовал такой номер N, что при n>N и любом p>0, выполнялось бы неравенство: |an+p-an|<eps.
Но в доказательстве обычно доказывается сначала необходимость потом достаточность, т. е. рассматривают утверждение как свойство и признак.
Еще вместо необходимо и достаточно бывает «тогда и только тогда», «если и только если».
Такова логика изложения почти везде. Традиция типа.
Критерий Бирмана-Шапиро (гипотеза, дается без доказательства):
Для необходимости достаточного условия необходимо и достаточно доказать его необходимость.
На самом деле, я уже не знаю что пишу. Главная мысль в том, что если в твоих, Илья, терминах заменить «признак» «условием», наступает катарсис. Вроде как.
А, да! Бороды у меня нет, если че. Оказывается поэтому математика для меня непостижима. О какой-либо конгруэнтности лучше вообще не думать:)
Разрыв мозга. Спать.
Женька! Спасибо за клёвый комментарий :-) Как твои дела?
Я не высказывался против необходимости и достаточности, мне эти понятия вполне понятны ;-) И про «необходимо и достаточно», и про «тогда и только тогда, когда» мне всё ясно и вопросов нет. Меня смущает конкретно словосочетание «необходимый признак», встречающееся в некоторых пособиях.
Он не клёвый, просто длинный;) Дела по разному.
Да я не сомневаюсь, что ты все это знаешь. Как я уже писал, я не знаю зачем писал. А такие «некоторые» пособия просто не читай:)
А ты просто, как и я, иногда живешь ночами, или это тебя будит спец. скрипт, когда коментирует кто-то, ты вбиваешь ответ и сразу опять спать?
Да я вот что-то всегда живу ночами.
«Некоторые пособия» — это мой любимый двухтомник Пискунова по дифференциальному и интегральному исчислению, который настолько любимый, что я его специально себе заказал на Озоне, чтобы стоял на полке. В нём многое дано клёво и понятно, намного проще, чем в других книжках. А вот с необходимым признаком — жопа.
Ага, помню такую книжку*2.
Наверное просто надо вовремя засечь семантику и забить на лексику. Ну или типа того.
Очень хорошее замечание. Хорошие примеры.
PS. Прямо-таки можно начинать проект учебника «Математика для людей».
!!Признак неравенства треугольников. Треугольники не равны, если не равны попарно все их углы!!
Почему все то? Достаточно одного не совпадения
И что, что достаточно?
Я сформулировал иначе то же самое утверждение, чтобы оно обрело смысл, а вы предлагаете другое.
Во-первых, я бы вообще не стал делать этого утверждения, так как это:
!!Свойство равных треугольников. У равных треугольников попарно равны все углы.!!
достаточно.
Во-вторых, из последнего следует, что даже если первые два угла несовпали, то остальные все равно надо проверить :) . Если есть частичное совпадение, то последнее утверждение теряет смысл.
Из последнего не следует, что надо проверить, Артём, ну логику-то изучите хотя бы вкратце.
Логика у меня программисткая. Слово «все» на мой взгляд правильно подчеркивает то, о чем я говорю.
Мне остаётся только развести руками. Просто знайте, что вы ошибаетесь.
А если захотите ознакомиться с основами логики — что для программиста совсем не лишнее — в интернете полно источников.
Возражения в первом комментарии верные, полностью их поддерживаю.
От себя добавлю, что чувствую себя некомфортно, работая с терминами «необходимо» и «достаточно». Как только встречаю их, сразу же начинаю думать, что из чего следует. Мне проще, когда условие теорем сформулировано так: «если А, то Б». Сразу понятно, в какую сторону идет импликация. Именно так я их везде и формулировал, в том числе и на экзаменах.
Илья, а что у Вас за издание Пискунова? У меня на полке стоит пятое издание 1965 года. Перечитываю избранные главы обычно, но такого не припомню. «Необходимый признак» точно ухо бы резанул. Может, современные издатели, супостаты, чего от себя накидали?
А вообще классные книжки :-) И еще Фихтенгольцевский матанализ. Всё просто и понятно.
Никогда не встречался с такими понятиями, всегда были условия.
!!Дело в том, что всю жизнь это называлось «необходимое условие» и «достаточное условие».!!
А у нас в МИРЭА это называется признаками. Например: «Необходимый признак сходимости, достаточный признак сходимости для рядов с положительными членами» и т. д. В принципе привык, так как:
1) Чтобы доказать, что ряд сходится, нужно проверить выполнение достаточного признака.
2) Чтобы доказать, что ряд расходится, достаточно показать невыполнение необходимого признака.
По-моему, логично. Как кого учили, тот к такой терминологии и привык.
Всё-таки, это не логично, а привычно (вам, и многим другим).
Игорь Николаевич Кохановский говорил нам на 1 курсе:
Признак — достаточное условие.
Критерий — необходимое и достаточное условие.
Необходимые условия обычно служат для проверки. Скажем, исследуешь ряд на сходимость, проверяешь на необходимый признак сходимости (предел общего члена должен стремиться к 0), не сходится общий член — сразу можно сказать, что и ряд к конечной сумме не сходится. Много чего можно таким образом проверять.