О теоремах, данных без доказательств
Я учился в математической школе. Учился весьма посредственно, но, например, те, кого вовсе отчисляли, переходя в обычную школу, стабильно учились там на отлично без малейшего напряжения мозга.
Однажды для меня стало большим откровением, что в обычных школах некоторые теоремы и формулы давались без доказательства. То есть, людям просто говорили, что есть теорема Фалеса, а есть — формула Герона. А потом сразу давали задачи, которые можно было решить с их использованием. Это для меня было абсолютным разрывом мозга. Это не укладывалось в голове. Я совершенно не мог понять, какой смысл в том, чтобы проходить формулу, не выводя её — это же тогда просто бессмысленный набор букв и знаков. Ну или максимум «занимательный факт»: британские учёные выяснили, что.
Нас, помню, развлекал учитель математики, читая на перемене вопросы билетов экзамена по геометрии из какой-то там другой школы. Идея того, что в ответ на вопрос нужно тупо по памяти написать формулу или формулировку теоремы, представлялась смешной всему классу.
Позже в университете для некоторых моих одногруппников казалось странной необходимость доказывать теоремы или выводить формулы. По школьной привычке учить формулы наизусть эти люди учили наизусть и вывод формул, не понимая, что там происходит. При этом многие из них благодаря прилежности хорошо писали контрольные; боялись же они экзамена. У меня история была обратная: всегда было очень трудно попасть на экзамен, потому, что для этого надо было сдать зачёт, а чтобы допуститься на него, нужно было написать все контрольные в семестре. Терпения же и внимательности на решение практических задачек всегда не хватало.
Экзамены по математике в университете я сдавал на 4, 4, 4 и 5 (в четвёртом семестре была теория функции комплексного переменного, которую я обожаю).
Каждый раз, когда я сдавал листочек с ответами Олегу Геннадьевичу, напротив большинства пунктов задания он ставил минус. Потом, когда он вызывал меня отвечать, он спрашивал: почему не решили эту задачу? Я говорил: забыл формулу такую-то и откуда она берётся. Он говорил: ну, а если бы знали формулу, что бы делали? Я отвечал: нашёл бы то-то, подставил бы в формулу, выразил бы это через это и получил бы ответ. Он подсказывал: ну, вот если вы возьмёте то-то, представите это как сумму этого и этого, а потом домножите на то-то, то вы увидите, как вывести формулу. Я садился, выводил формулу, и он ставил мне плюсик, не дожидаясь, пока я решу собственно задачу. Потом мы переходили к следующему пункту... Почему, спрашивал он, не доказали теорему? Я говорил: я знаю, что при соблюдении таких-то условий она вытекает из того-то через то-то и то-то, но совершенно не помню, как от вот этой формулы делается переход дальше. Он говорил: ну дак дальше из того-то следует, что так-то и так-то... А! перебивал его я, ну точно же, и тогда мы сможем заменить это на это, и там то-то то-то сократится и останется как раз то, что нам нужно!
Люди учившие всё наизусть, частенько уходили с двойками, даже если на листочке напротив всего стояли плюсы: когда в ходе разговора выяснялось, что человек не соображает, листочек уже не имел никакого значения. Он ценил понимание больше прилежности, и понимающему человеку готов был прощать лень и плохую подготовку, за что я ему очень благодарен.
Теорема и её доказательство, формула и её вывод, данные в неразрывной связке, воспитывают навык видеть во всём здравый смысл. Не обязательно знать это всё наизусть, чтобы сформировать правильное отношение к математике. Важно, что математика существовала бы, даже если бы не было Пифагора и Фалеса, Эйлера и Коши, Остроградского и Гаусса. Всё работает так, как работает, с неизбежностью, а не потому, что кто-то так придумал.
Когда люди учат в школе теоремы без доказательств, они потом твердят, что факториал нуля равен 1 по определению. Знающие же то, что математика существует независимо от того, что написано в определениях, понимают, что факториал нуля равен 1 объективно, и он оставался бы равен 1, даже если бы об этом никто не написал в определении.
В математике так много разделов и направлений, и они так сильно взаимосвязаны, что практически невозможно придумать способ последовательного изложения всего этого, чтобы никогда не было необходимости ссылаться вперёд. Нужно быть готовым, что иногда тебе придётся поверить во что-то на слово, а уже позже убедиться, что это действительно так. Человек же, приученный всегда верить на слово, про вторую часть мгновенно забывает.
ТФКП... Чудесное было время. Мне больше всего нравился многолистный (или многослойный, не помню уже) логарифм. Объяснял его прелесть всей группе.
А сейчас всё забыл :-(
Я или не помню, или не знаю, что это такое :-(
А мне вот ТФКП не очень нравиться, проходил ее одновременно с тервером, вот это на самом деле интересный предмет.
Настолько интересный, что вы даже пропустили букву о в его названии...
Теорию вероятностей я тоже любил, сдал зачёт по ней первым в потоке. И преподаватель у нас был классный по ней, Дмитрий Юрьевич: у него глаза горели всегда, было видно, что его самого всё это прёт, ну и меня он этим заражал вполне успешно.
У меня была отличная учительница математики. С уникальной системой преподавания. Над доской у нее висел «странный» по тем временам лозунг: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мыщления!»
ТФКП я не особо любил, хотя каким-то макаром получил по нему автомат (один из двух на потоке). Впрочем, Бирман, как ты прав, как ты прав! Не выведя формулы своими руками, я не понимал вообще, что это за чёрт.
Ну и... Взялся я недавно репетиторствовать по матанализу. Провёл пока только одну пару (вторая сорвалась), но этот товарищ был просто молодец. Он буквально выпрашивал у меня, ОТКУДА ОНО ВСЁ БЕРЁТСЯ.
Как можно не любить ТФКП, это ж всё самое красивое. А с товарищем здорово, да ;-)
Прекрасный текст.
Пропуск буквы не случайность. Его всегда так называли, и называют, потому что теорвер звучит как то не так. Как и, например, теормех.
Его всегда так называли те ребята, которые говорят: «позвОнишь мне?»
Тервер, термех? Первый раз слышу. «Теорвер» звучит вполне благородно.
!!Его всегда так называли те ребята, которые говорят: «позвОнишь мне?»!!
Я говорю позвонИшь правильно и так его называю.
!!Тервер, термех? Первый раз слышу. «Теорвер» звучит вполне благородно.!!
Ну у нас в МЭИ так говорят, не знаю, может где-то по другому.
Да, британские ученые, это пиздец.
!!Его всегда так называли те ребята, которые говорят: «позвОнишь мне?»!!
Угу, и две трети мехмата МГУ (в неграмотности незамеченные).
!!факториал нуля равен 1 объективно!!
Это утверждение — очень смешное.
Рад, что повеселил вас :-)
Тервер, термех — я не знаю как «правильно», но ВМиК МГУ присоединяется к Мехмату :)
Объективность — вы имеете в виду так удобнее/привычнее, наверное, да?
Факториал нуля — это такая же абстракция, что и ноль в нулевой степени. А факториал отрицательного целого? А факториал рационального числа? А чему равен факториал мнимой единицы? Спорить о таких абстракциях — занятие «на любителя».
Пока факториал не нужен для этих чисел, мы не знаем, чему он равен. Просто если он вдруг понадобится, и мы придумаем, что i! = 47, то мы быстро убедимся, что мы не правы (ну, или правы).
Мне нравилось на экзаменах «учить» доказательства теорем.
Некоторые прилежные студенты и правда учили. А я обычно запоминал в общих чертах и выводил чисто из логики.
Хорошая наука — математика, ага.
А я вот видишь, запоминал в общих чертах, а какую-нибудь конкретику потом забывал. А Олег Геннадьевич мне это великодушно прощал :-)
Я вот тоже в школе ничего не учил, и сдавал всё на пятёрки, ничего сложного в этом не было. В универе кое-что учить приходилось, но наша математичка придерживалась того же подхода — не знаешь правила наизусть — умей его вывести.
И вот сейчас я сталкиваюсь с серьёзной проблемой. Когда нужно тупо сесть и сделать неинтересную, но нужную работу, я уже не могу. Не хватает терпения. А всё потому что в школе не научился сидеть и зубрить. А в музыкальную школу я не ходил.
Я тоже учился у Олега Геннадьевича. Прекрасные воспоминания. Да, он истинный ценитель истины, ценил понимание выше прилежности и с ленью всё ясно.
Т. е. ваш Олег Геннадьевич вырастил целое поколение умных лентяев? ;)
Наша Муравьева принимала экзамены письменно, так что так мило побеседовать с ней обычно не получалось, разве что в спорных случаях.
Письменные экзамены — это жесть ваще.
Хороший пост. Я помню, как то »открыл« дробную степень в пятом (?) классе, просто исходя из понятия степени для целых чисел. Оказалось потом, что »открытие« уже есть в учебнике :).
Но вот школьная физика — это набор формул, которые тупо надо запомнить. Если выводы и были, то они притянуты за уши. А все потому, что некоторые законы не выводятся ниоткуда в принципе (созданы Богом :)), а для вывода других надо знать более сложные теориии типа квантовой механики. Универсальность уравнений физики познается только в универе, к сожалению.
!!А факториал рационального числа? А чему равен факториал мнимой единицы? Спорить о таких абстракциях — занятие «на любителя».!!
Гамма-функция Эйлера, чего еще тут спорить?
О! Отличная вещь :-) Спасибо.
!!Но вот школьная физика — это набор формул, которые тупо надо запомнить.!!
!!Универсальность уравнений физики познается только в универе, к сожалению.!!
Зато в школьном курсе есть хорошие качественные задачи, которые требуют от школьника именно понимания физики, а не подстановки чисел в формулы. В свое время я их не любил из-за возможной неоднозначности в рассуждениях. А теперь понимаю, как раз то — и есть физика. А то, что проходят в вузах — слишком математизированные теории, в которых, к сожалению, мало где можно проявить интуицию. Впрочем, винить здесь некого — такова физика XX века.
!!Гамма-функция Эйлера, чего еще тут спорить?!!
Э-э-э... Круто. Впечатляет. Но это — уж точно на любителя. (Тема факториала отрицательного числа всё ещё не раскрыта!)
Ну если расширить определение и определить n! как Г(n+1), то факториала целых отрицательных чисел не существует. Для n <= 0 мы видим (на картинке в Википедии :-) неустранимые особые точки.
Итс тру, Илья. Это я про мораль препода. Такие люди являются последним оплотом антиидиотизма и задротства.
0!=1 потому что это удобно. Как дополняют функции за область их определения «по непрерывности», так вводят и 0!=1 «по удобности», это ничему не противоречит, но делает многие математические выражения благороднее и компактнее. М?
Чем отличается понятие «это удобно и ничему не противоречит» от понятия «это так»?
!!Для n <= 0 мы видим (на картинке в Википедии :-) неустранимые особые точки.!!
Отчего же тогда 0! считают единицей? :)
Г(1) = 1
Вы определение там прочитайте, что ли ;-)
!!Но вот школьная физика — это набор формул, которые тупо надо запомнить. !!
Во! Точно! Вот почему я физику со школы не люблю!
Илья Бирман 18 января 2008, 21:05
Чем отличается понятие «это удобно и ничему не противоречит» от понятия «это так»?
Мне кажется: «сумма длин двух любых сторон треугольника длиннее третей. Это так», а не «сумма длин... Это удобно и ничему не противоречит.» 0!=1 не следует из определения факториала. Это ДОопределение.
Вот только беда... может у вас «так» это нечто другое. ;)
Из определения разности, даваемого в первом классе, не следует, что из меньшего числа можно вычесть большее. Из определения степени, даваемого в каком-нибудь шестом, не следует, что число можно возвести в дробную или тем более комплексную степень. По мере изучения математики понятия получают новые, более широкие определения. Сначала вектор — это стрелочка, а потом — упорядоченный набор чисел.
Факториал нуля — это, по сути, произведение нуля чисел. Произведение нуля чисел равно единице, если вы понимаете произведение хотя бы чуть-чуть шире уровня средней школы. Это вполне следует из определения факториала.
Нет, к сожалению я не понимаю произведение шире уровня средней школы :(
Для меня взять три раза по два предмета и не взять ни разу ни одного это несоизмеримые величины. Мне легче принять этот факт, ПОНИМАЯ, что сумма по к от 0 до ∞ от 1/k! равна E.
Я хочу сказать, что если это было не «так», то мы бы быстро обнаружили, что это всему «противоречит», и что это поэтому очень «неудобно» :-)
Полностью согласен :-)
Кстати, еще одна мысль по поводу произведения нуля сомножителей.
Произведение по определению — бинарная операция. Она производится с двумя объектами. Всё остальное — доопределения.
Я всё-таки предпочел бы говорить, что в общем случае понятие «произведения нуля сомножителей» не имеет смысла, вместо того, чтобы утверждать, что оно равно единице.
Да, можно и так посмотреть. Тогда факториал нужно определять так:
В этом случае 0 не будет выглядеть какой-то удивительной особенностью, это будет просто «начало отсчёта», а дальше мы не используем небинарного умножения вообще.
как все знакомо
если определение записать на языке программирования, то будет
%%
int factorial =1;
for (i=1; i<=N; i++)
{
factorial = factorial*i;
}
%%
если i<=1, то цикл все равно исполнится хотя бы один раз, и будет результат 1.
извиняюсь, «если N<=1»
!!Ну у нас в МЭИ так говорят, не знаю, может где-то по другому.!!
Эх, масква-масква... Дерёвня! =))
Илья Бирман 19 января 2008, 00:05
Да, можно и так посмотреть. Тогда факториал нужно определять так:
0! = 1
n > 0: n! = n (n-1)!
Во! То что нужно, чтобы спокойно уснуть сегодня ) В такой форме все выглядит просто восхитительно ) Жалко что его ввели не так! Вот честно.
один:
!!Пока факториал не нужен для этих чисел, мы не знаем, чему он равен. Просто если он вдруг понадобится, и мы придумаем, что i! = 47, то мы быстро убедимся, что мы не правы (ну, или правы).!!
два:
!!Гамма-функция Эйлера, чего еще тут спорить?!!
Гамма-функция в каком-то смысле, аналитическое продолжение факториала. Т. е. однозначное расширение его на комплексную плоскость с учетом не-помню-каких требований. Идея в том, что аналитическое продолжение и те самые требования, которые я не помню, помогают связать очень многие вещи красиво между собой. Преобразование Фурье с преобразованием Гильберта, или типа того.
Продолжить функцию с вещественной прямой на комплексную плоскость можно по-разному, но интересный общематематический эффект имеет только аналитическое продолжение (правда, мы никогда не сможем доказать, что нет других полезных продолжений).
То, что мы не можем доказать, что наша система аксиом полна, непротиворечива и единственна — «свидетельство существования дьявола» по словам одного деятеля конца 19 века. В данных обстоятельствах, как «свидетельство существования бога» я понимаю общность, логичность и последовательность математических сущностей. Считаю, что они имеют универсальное значение вне зависимости от нашего мировоззрения. Потому что, кроме как на ограниченную логику и моё понимание красоты, мне положиться не на что.
!!если определение записать на языке программирования, то будет
int factorial =1;
for (i=1; i<=N; i++)
{
factorial = factorial*i;
}!!
Кто же так факториал считает, рекурсией надо, рекурсией! Она эффективнее. Да и эффектнее. 8-)
В частности, формула числа сочетаний из n по n
n!/(n!×0!)
работает, только если 0! = 1.
Имелось ввиду
n!/(n!*0!)
Какой я безнадежный в плане учёбы :-(
Отличные оценки получал всегда (в школе) по физике, математике, русскому языку, информатике и химии. Только потому, что всегда был ленивым засранцем (учить формулы-правила?!), но «понимал». Наверное, с учителями повезло.
!!Кто же так факториал считает, рекурсией надо, рекурсией! Она эффективнее. Да и эффектнее. 8-)!!
я не ставил себе цели написать эффективной программы. Это определение факториала на псевдоязыке программирования, а не программа. Что-то типа перевода фразы «произведение всех целых чисел от 1 до n» с русского на С++.
Когда-то в школе учитель сказала, что 0! = 1 по соглашению; далее последовали примеры, подтверждающие необходимость такого соглашения. А уже потом был томик Кнута с описанием Гамма-функции :)
Шутка с рекурсией —- смех сквозь слезы.
больше года не следил за твоим блогом, а тут такое...
помнится, лет пять-шесть назад, был у меня экзамен по математике. как обычно в те времена, это сдавалось с дикого бодуна. вместо 4 автоматом я решил идти на пять и получил вопрос по интегралам. пришлось с нуля выводить все формулы самостоятельно, а потом уже, чтобы получить троечку, решать огромнейший интеграл.
что я хотел сказать: главное это не зазубренные формулы, а понимание всего процесса впринципе.