Что делать в Будапеште?

Прокатиться по всем веткам метро.
Погулять ночью и увидеть насколько он безлюден — не горят окна домов.
Прокатиться на автобусе амфибии и заценить мосты.
Побывать в синагоге.
Понять что это два города.
Пожить в обычной квартире, они шикарны.

Посетить музей террора. Посмотреть как сложные темы раскрываются через современные экспозиции. Есть множество интересных решений.

Сходить в термальные купальни (Рудаш, Сечени)

Поесть гуляш, Halászlé (рыбный суп), pörkölt и paprikás.

Выпить вина, palinka и unicum.

Покататься на трамвае.

Посетить руин-паб. Любой.
http://ruinpubs.com/index.php?id=blog&cikk=13

Погулять вокруг кладбища Керепеши, очень атмосферный и непохожий на другие район Пешта. Сходить на городской рынок. Насладжаться каждой вывеской города. Погулять вечером вдоль Дуная от моста Свободы до парламента. По возможности не ходить на остров Маргит.

Руинные пабы обязательно: Simpla Kert, Instant. На гору Гелерт подняться, по тамошнему парку пройтись, отличные виды на Дунай и город. Ты, конечно, к видам с высоты равнодушен, но это всё-таки гора и парк, а не какая-нибудь дурацкая вышка, так что может и ок. Центр, парк с колесом обозрения, Нью-Йорк кафе. Прогуляться по набережной, лучше подгадать, чтобы оказаться через Дунай от парламента вечером.
Метро отстойное, трамваи не впечатлили. Будайская сторона тоже не особо.
Главное, наверное, ходить по улицам Пешта, смотреть по сторонам на трушный почерневший известняк стен. Загляни в какие-нибудь парадные или дворы, если будет возможность. Крутые. А лучше вообще снимать квартиру в таком доме.

Метро отстойное, трамваи не впечатлили.

В метро стоит посмотреть самую старую ветку — M1

Будапешт — один из самых интересных и необычных городов Европы. Купальни, первая линия метро, трамвай вдоль Дуная и самый длинный трамвай, руинпабы, пароходы по Дунаю, ночной вид на Парламент… Есть на что посмотреть и как провести время.

http://sergeykorol.ru/blog/budapest/

Транспорт:
Зайти на вокзал Нюгати (Эйфель руку приложил).
В метро наиболее интересны желтая (старейшая) и зеленая (новейшая) ветки.
Трамвай — царь, бог и местный фетиш.
Особенно новейший №4/6.
Можно подняться на зубчатом трамвае №60 на будайские горы.
И где-то там наверху есть канатная дорога и детская железная.
Музей транспорта кажется на реконструкции.

Отдельным пунктом — посетить «невидимую» выставку: http://www.lathatatlan.hu/en/in-forgein-languages/

А гулять:
Погулять по Будайской крепости, у парламента, у площадей Эржбет, Свободы, Героев, по проспекту Андраши, особенно от Октогона до Эржбет, ну и весь центральный Пешт очень даже.
Остров Маргит лучше конечно посещать в теплое время года, но все равно он очень мил, и думаю будет интересен.
И да, как уже упомянули, много крутых старых и не очень домов-колодцев с внутренними двориками, если будет возможность посетить — обязательно.

Ну и конечно купальни и ромкочмы.