Подписка на блог

РСС — лучше всего

Ещё есть автоматические трансляции в Тумблере и Же-же. Если что-то не работает, напишите мне: ilyabirman@ilyabirman.ru.

Ноль в нулевой

Тема 0,(9) = 1 как-то заглохла.

Предлагаю в таком случае обсудить тот факт, что 00 = 1.
Подписаться на блог
Поделиться
Отправить
44 комментария
BOLK
А это не факт, это неопределённость.
Илья Бирман
Аргументы?
LXj
*Вылезая из-под стула* Где мой попкорн? Кажется, с прошлого раза ещё должен был остаться

Oleg
Предел x^x, x->0 есть, но ноль в нулевой — неопределённость.

Вот, что пишет Mathematica:

In[1]:= Limit[x^x, x->0]
Out[1]= 1

Однако, вот что она еще пишет:

In[2]:= 0^0
From In[2]:=Power::«indet» : Indeterminate expression 0^0 encountered. More...
Out[2]= Indeterminate

См. объяснение (первый абзац).


Илья Бирман
При чём тут предел?

В «объяснении» речь идёт о 0/0. То, что 0/0 есть неопределённость — никто не спорит. Я говорю про 00. Это единица ;-)
Алексей Копылов
Почему например 30 = 1? Берём 32 и начинаем делить 2 раза на 3, чтобы получилось 30. 9/3 = 3. 3/3 = 1.

Теперь берём 02. И делим 2 раза на 0. Один явно не получим.
Илья Бирман
<speculation>

Как это не получим? 02 — это ноль, так?

Делим его на ноль, получаем ноль (по определению, ведь найти частное значит найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое; так что ноль нас вполне устраивает: 0×0 = 0). Теперь делим на ноль второй раз, получаем один (снова по определению, так как 1×0 = 0).

Не вижу противоречия.

</speculation>
Ivan Babanin
Screen Shot из книги «Справочник по математике», автор А.Г. Цыпкин, 2-е издание.
Илья Бирман
Цыпкин нифига не прав ;-)
Kycok
хм... мне математик очень просто обьяснял.
Как можно получить число 52? 57/55.

5*5*5*5*5*5*5
_____________
5*5*5*5*5

Сократили. Получили (1*1*1*1*1*5*5)/(1*1*1*1*1) = (1*5*5)/1 = 52
как получить 50? 55/55.

Опять расписываем, сокращаем. Получаем 1/1=1.

00 = 07/07

Расписываем аналогично первому. И опять получаем 1/1=1.

Грубо говоря: ноль нолевых ровно 1, так же как одна первая ровно 1.
Илья Бирман
Ноль нулевых — вот это как раз таки неопределённость. То есть, оно, конечно, равно 1, но оно в той же степени равно и 47. В этом — смысл неопределённости.

А вот 00 равно 1, с какой стороны не смотри на него ;-)
Oleg
ОК, 00 точно так же неопределен, как и 0/0, потому что (47*0)0 = 47 или 1?
Встречный вопрос: если не обращаться к пределу, то почему ты пишешь, что 0/0 «равно 1, но оно в той же степени равно и 47»? То же самое и с 00.
Илья Бирман
Даже если тебе не нравится, что 00 = 1, я полагаю, отрицать, что 47×0 = 0 ты не будешь? Тогда, (47×0)0 = 00, а это уже равно 1. Тут всё вполне определённо. Откуда у тебя 47 берётся? Так что, совсем не точно так же.

0/0 и равно 1, и равно 47, безо всякого предела, просто по определению операции деления (найти частное — значит найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое; это и 1, и 47, и даже 920 тысяч). И, поскольку это так, то 0/0 — неопределённость; то есть, существует больше одного значения, которые подпадают под определение этого выражения.

Покажи мне хотя бы одно число, иное чем 1, которое бы являлось значением выражения 00.
Oleg
Pardonne moi. Действительно, 0^0 = (47*0)^0 = (47^0)*(0^0) = 1*(0^0) и никаким образом не получить неопределенность (по аналогии с 0/0). Т. е. 0^0 — определенное число. Но чему принять его равным? Самое логичное — равным соответствующему пределу. И всё. Согласен с тобой полностью.

Илья Бирман
Ха-ха, как ты легко согласился. А как тебе то, что:
  1. lim [x→0] x0 = 1, но
  2. lim [x→0] 0x = 0?
Так что предел не решает проблемы. И, тем не менее, это 1 :-)
Oleg
Действительно ха-ха, поторопился. Смотрю на график x^y и продолжаю думать, что ты все-таки не прав :) Жду увлекательных объяснений, почему же 00=1 (не зря же Фихтенгольц считает 00 неопределённым).
(а потом надо поднять тему дельта-функции и решения термодинамической задачи с сингулярными начальными условиямив точке (T=0, x=0) методом Фурье и/или с преобразованием Лапласа)
Илья Бирман
Ну, такую тему я поднять не возьмусь ;-)

Кстати, чтобы было веселее, скажу, что 00 считал неопределённым не только Фихтенгольц, но и даже более именитые математики.

Oleg
Да, Фихтенгольц не революционер, поэтому он — собирательный образ именитых математиков ;)
Weasel
Илья, это уже провокация ;)

00 = 05-5 = 05 * 0-5 = 05 * 1/(05) = 05 / 05 = 0/0 = (как мы уже выяснили) = 47
Илья Бирман
Твои рассуждения неверны. Ты пытаешься разными «махинациями» сделать определённое неопределённым. Иными словами, ты искусственно вводишь в своих преобразованиях неопределённость вида 0/0.

Таким способом можно любое выражение сделать неопределённым. Например, покажем, что 5+5 неопределено, домножив и разделив на ноль («мы же можем домножить и разделить на одно и то же число»):

5+5 = ((5+5)×0)/0 = (10×0)/0 = 0/0 = 47.

Однако это не показывает, что 5+5 неопределено.
Weasel
Не передёргивай. Лучше ткни конкретно пальцем, где я вношу неопределённость. Нет там такого, неопределённость есть в 0^0 изначально.

Школьное правило математики, которым ты манипулируешь, полностью звучит так «мы можем домножить и разделить на любое одно и то же число, кроме нуля». И за его несоблюдение нам в школе ставили колы без разговоров.

Попробуй найти у меня такую же ошибку ;)
Илья Бирман
Update (всем): Я уже обнаружил ошибку в данном ответе, но не удаляю его для того, чтобы не сломать последовательность реплик в обсуждении. Ошибка во втором переходе: 0–5 не равно нулю.

Конечно, ты тщательно замаскировала введение 0/0, но это не значит, что ты его не вводишь. До третьего знака равенства его не было, а после него оно появилось. Вот именно там ты его и вводишь.

Давай так:

5+5 =
= 5+5+0 =
= 5+5+(05×0–5) =
= 5+5+(05×1/(05)) =
= 5+5+(05/05) =
= 5+5+0/0 =
= 5+5+47 =
= 10+47 =
= 57.

Я делаю всё то же, что и ты. Где у меня ошибка? Как только ты найдёшь её у меня, ты найдёшь её и у себя. Либо признай, что 5+5 = 57 ;-)
Lissome
Это конечно совершенно не мое дело, но 5+5+0 ~= 5+5+(05*0-5)
поскольку 05*0-5=00~=0

Математические выкладки Weasel выглядят убедительнее
Илья Бирман
Действительно, выкладки Weasel выглядят убедительнее, однако всё равно не являются «математическими», потому, что она занимается — хоть и маскируясь — домножением на неопределённость; не удивительно, что в результате получается неопределённость.

Ниже, кажется, я привёл более удачный пример «неопределённости выражения 5+5».
Weasel
На самом деле ты уже почти нашёл ошибку ;)

Переход от 0(5-5) к 05*0-5 — запрещённый...

Потому что 0-5 — не только не равно нулю, это вообще не число.
Илья Бирман
Да, я вот как раз рисовал другую картинку:

5+5=57
Евгений Геращенко
Однако, Google говорит, что Илья прав.
Илья Бирман
Спасибо :-)
Alexander
Илья! С news2 на твой сайт почему-то не добавляется трэкбэк. Непорядок!
bis0n
Можно бесконечно спорить, используя возведение в целые степени, однако есть определение x^y через две вполне определенные функции: exp() и ln().

xy = exp(x*ln(y))

обе функции определены для 0 и 

00 = exp(0*ln(0)) = 1
Илья Бирман
ln(0) определён?..
bis0n
Да, я сам уже понял :). log x(0) не определен и стремится к -inf.

Отсюда и 0*ln(0) неопределен.
Кто знает, чему равен limx->+0 [ x * ln(x) ]?

Как следствие, 00 не определен, Гугл не прав :)
Илья Бирман
Вы повторяете ошибку Weasel. Вы считаете, что если выражение можно преобразовать так, что какая-то часть нового выражения неопределена, то значит и выражение в целом тоже неопределено. Если бы это было правдой, то 5+5 тоже было бы неопределено, как я уже продемонстрировал выше.
bis0n
Мы оба использовали известные детерминистические методы вычисления xy для доказательства или опровержения 00=1, однако ни один из них не определен для x=0. Следовательно, аргументов против у нас нет :)

Интересно, какие же будут аргументы за? Лимиты и выражения «если-то-иначе» — не аргументы ;-).
Илья Бирман
Я не знаю, что такое «детерминистические методы». 00 = 1, потому, что это единственное логичное значение для произведения нуля чисел (нулей, ага), и при его принятии не возникает никакого противоречия.
Zahhar Kirillov
Далее можно переходить к обсуждению 0,(9)=00
Сковородкин
Я конечно со своим троешным дипломом математика ни на что не претендую, но...

Определение степени ноль скоре всего выводилось как: a^0=a^n*a^-n, а ноль под это определение не попадает!
Илья Бирман
«Скорее всего» — это не довод. Мне вот естественнее исходить из произведения нуля множителей, которое всегда равно 1.

Ноль под это «определение» не подпадает лишь потому, что 0-n не существует. То есть вы искусственно выражаете то, что существует через то, что не существует. Аналогичными вещами выше уже занималась Weasel. Правда, она выражала то, что определено через то, что неопределено. Таким путём, как я там показал, можно доказать любую чушь, например: 03 не существует, так как не подпадает под «определение» 07×0-4. Но, я думаю, вы не станете спорить с тем, что 03 существует и равен 0? Это свидетельствует об ущербности вашего определения, а вовсе не о «несуществовании» 00.
Сковородкин
Понятно, что «скорее всего» это не дововод.
Но тогда скажите мне определение степени числа.
Илья Бирман
Степенью b числа a называется произведение b чисел a. В случае, когда b отрицательно, используется логика: ab = 1/a-b (например, a-5 = 1/a5, которое уже понятно из первого определения). Дак вот, произведения нуля чисел (даже нулей — какая разница чего именно ноль?) — это единица.
Сковородкин
В приведенной статье есть ссылка ни чего путного не написано. Все доказательство сводится к тому, что 0/0 = 1, и что для продолжимости «binomial theorem» нам необходимо что бы 0^0 был равет единице. В одной из ссылок в данной статье (http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/) сказано «The number of mappings from the empty set to the empty set is 0^0 . It has to be 1.»
Вернемся в третий класс. У вас есть 0 яблок, вы делите 0 яблок между ни одним человеком. Исходя из данного выше определения скажите мне откуда возьмется яблоко?
Илья Бирман
0/0 не равно 1, это неопределённость. Где там какое доказательство сводится к тому, что 0/0 = 1?
Сковородкин
Т. е. как вы будете делить то, чего у вас нет? Или, иначе говоря, почему вы можете отдать то, чего у вас нет только один раз?
Илья Бирман
Делить то, чего нет, очень просто: всем достаётся по «ничего». Или тот факт, что 0/5 = 0 у вас тоже вызывает сомнения?

Только это никакого отношения к вопросу нуля в нулевой не имеет.
Сковородкин
Предлагаю поменять роли. Я утаверждаю, что 0^0=47. Убедите в обратном :)
Илья Бирман
В уже упоминавшейся статье после слов «From the power-series point of view, identities such as» идёт формула. Подставьте туда 47 и получите, что e0 = 47, что неверно.

Кроме того, очевидно, что это не подходит под определение «произведения нуля нулей».

Предложив поменяться ролями, вы признали силу моей точки зрения и предложили мне найти слабость вашей, что, как видим, не составило мне труда.
Сковородкин
Дело в том, что в этой формуле изначально полагают, что 00 = 1 (Книга Ильина, Позняка). Так что 00 все еще может быть равным 47.

Немного поясню. При выводе этой формулы в указаной мною книге делается следующий переход:
1+x/1!+(x^2)/2!+....+(x^n)/n!+...=Сумма от 1 до бесконечности по k (x^(k-1)/(k-1)!). Они говорят, что это верно для любого фиксированного числа х. Т. е. они предполагают (но не доказывают!) что 00=1. Таким образом ничего не мешает мне сказать, что 00=47, а формула верна для любого фиксированного х не равного 0.

Кроме того очевидно, что единица не попадает под определение«произведения нуля нулей».

Как видите у меня еще есть основания считать, что 00=47, и их ровно столько же, сколько у вас считать, что 00=1.

С нетерпением жду поледующих доводов.

П.С. Полностью согласен, что 0,(9)=1 :)
Там все просто. Там все вытекает из определения.
Илья Бирман
Ваше высказывание про «очевидно» довольно странное. Мне вот совершенно очевидно, что произведение нуля нулей есть единица. Произведение нуля чего угодно есть единица, и какая разница чего именно, его ведь ноль?

Я пока не увидел на каком основании вы считаете, что 00 = 47. Если считать, что это так, то в огромном количестве формул и теорем придётся оговариваться, что «а в случае нуля получится в сорок семь раз меньше».

Мы можем также договориться, что 72 = 94, а потом во всех формулах, где используется возведение в степень, указывать, что «в случае 72 нужно брать 49, несмотря на то, что это 94». Но не проще ли сразу сказать, что 72 = 49, и потом не оговариваться, ведь это так естественно?

Вообще, какое утверждение в математике вы готовы назвать «истинным»?
Сковородкин
Все очень просто, любое утверждение в математике можно считать истиным, если оно доказано.
Илья Бирман
Очень интересная точка зрения. Докажите мне, что 2+2=4, а параллельные прямые не пересекаются.
Сковородкин
А теперь перейдем к математическому анализу. Функция непрерывна в точке, если она непрерывна слева и справа от этой точки. (http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Ma/01/04/t.htm) Надеюсь это вы оспаривать не будете.

А вот теперь вам стоит внимательно почитать определение непрерывности сложной ф-ции. И еще раз прочитать статью (http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/). Там указано, что если взять определеныые функции, и устремить их к нулю слева и справа, то непрерывности в точке 0 не будет. А значит и брать значение функции, как предел в точке 0 нельзя. 
Илья Бирман
А значит и брать значение функции, как предел в точке 0 нельзя.
А я и не брал.
Сковородкин
Вы снова ушли от темы, вы не доказали мне, что 0^0 != 47.

Я не спорю, что если определить 0^0 как 1, то не придется делать оговорки в огромном количестве формул(а именно по этому в определенных случаях принято слитать 0^0=1), но это не мешает 0^0 равняться 47, и таки делать эти оговорки.
Однако, Google говорит, что Илья прав.
Евгений Геращенко
А мой Casio выдает ошибку.
Илья Бирман
Я-то вам доказал. Если бы это было так, то e0 было бы равно 47, что неверно.

А вот вы мне не доказали, что 2+2=4, а параллельные прямые не пересекаются.

Где Casio и где Google, нашли что сравнивать! Casio выдаёт ошику, потому, что считает, надо думать, через экспоненту (то есть использует способ выражения существующего через несуществующее).
Сковородкин
Внимательно прочитайте пост номер 26. 
Дело в том, что в этой формуле изначально полагают, что 00 = 1 (Книга Ильина, Позняка). Так что 00 все еще может быть равным 47.
Т. е. эта формула не является доказательством того, что 00=1.
Илья Бирман
Покажите мне хотя бы одну формулу хоть где-нибудь, в которой получался бы правильный результат, если «изначально предполагать», что 00 = 47. Как-то так получается, что во всех формулах всё становится хорошо, если изначально предполагать, что 00 = 1. Так может правильно предполагают-то, изначально?

Я так и не услышал от вас внятного критерия истины, либо доказательства того, что 2+2=4, а параллельные прямые не пересекаются.
bis0n
1. 0! = 1, т. к. x! = (x+1)!/(x+1) -> 0! = 1!/1 = 1
2. 00 = (5 — 5)0 = 0!/(0!*(0-0)!) * 50 * (-1)0 * 50 = 1 * 1 * 1 * 1 = 1
Сковородкин
Что то я не понял перехода от (5 — 5)0=0!/(0!*(0-0)!)*50*(-1)0*50
Сковородкин
Скажу по другому: указаный переход вовсе не очевиден.
ST
Господа,

Всё что вы тут трете, либо изъезженные вдоль и поперек факты (Илья Бирман), либо полный бред (Сковородкин).

Поразмышляйте лучше над другой формулой

e^{i*pi}+1=0

Тута все 5 констант математических собрано.
===
То, что 2+2=4 можно доказать при определенных условиях, но для этого надо определить что мы подразумеваем под 2, +, = и 4.

По поводу параллельных прямых, которые не пересекаются — написанно криво, параллельность — свойство непересечения прямых, поэтому если прямые пересекаются, то они не параллельны.

Другое дело что существуют геометрии, в которых нельзя через точку вне прямой провести прямую параллельную данной (Риман), либо же их можно провести очень много (Лобачевский).

И зачем я всё это пишу :).
Илья Бирман
В своём абзаце про параллельные прямые вы исходите из того, что если что-то так по определению, то значит это есть истина (и я с вами совершенно согласен), однако выше Сковородкин утверждал, что истиной можно считать только то, что можно доказать. Вот и пусть доказывает.
ay4
Очень интересными кажутся посты за номерами 11 и 14. Позволю себе тоже внести пять копеек.

Строго говоря, в школьной арифметике мы привыкли останавливать вычисления, если в выражении появляется неопределенность, в частности, вида a\0. Это означает, что при переходе от 0^(a-b) к 0^a*0^(-b) вычисления должны как бы прекращаться, то есть любая учительница здесь говорит: «На ноль делить нельзя».

На первых курсах институтов такие случаи попадаются обычно при рассмотрении функций, и тогда появляется либо предел, либо разрывы какого-нибудь там рода. В чистой арифметике проблема заключается, видимо, в том, что арифметические операции определены только в узких случаях, как например, бесконечные суммы не подчиняются тем же правилам, что и конечные.

Иначе говоря, у Ильи в выражении 0^5*0^(-5) умножение может как-то действовать, но не так, как классическое умножение, не определенное для 0^(-5). На первый взгляд это означает то, что значение (или неопределенность) выражения 0^0 не выводится путем обычных арифметических операций с использованием неопределенностей, поскольку для них арифметика недействительна. Отсюда вывод, что вопрос о том, равно 0^0 единице или нет, для арифметики вообще не важен, поскольку для арифметики он не стоит. Мне кажется, это можно строго доказать.

Анализ я не знаю настолько хорошо, чтобы говорить о задачах, где 0^0=1 удобнее, чем неопределенности. Видимо, это все сведется к доказательству существования предела x^y при x,y->(0,0) и равенства его повторным.
Сковородкин
Неопределенность 00 вытекает из того, что для функции y=0x нельзя доказать ее непрерывность в точке 0, т. к. очевидно, что для данной функции нельзя посчитать предел при (х) -> (-0).
Хотя возможно какое то другое доказательство «факта» (пока всетаки в ковычках) 00=1, т. к. например разложение еx в ряд Тейлора верно для любого х (даже для комлексного). (Wikipeia->Ряды Тейлора).
ay4
Сковородкин, не мешайте понятия существования пределеа и числа. Если есть что-то, что как вам кажется должно сходиться к единице, а оно сходится к бесконечности, существование единицы этим самым не опровергается.
binary animal
2 Сковородкин: извините что влезаю в ваш конструктивный диалог, но рискну заметить что понятие вещественной степени да и вообще степени вводится вообще без понятия предел и понятия функция, и такими «высокотехнологичными» инструментами для док-ва либо опровержения мы в вообще-то по умолчанию не располагаем =)
Роман Парпалак
Не понимаю я предмета данного спора.

В математике вводятся новые объекты и правила действия с ними таким образом, чтобы рассуждения с использованием новых объектов давали те же результаты, что и рассуждения только со старыми.

Нулевая и отрицательная степень числа введены для того, чтобы формула am/an=am-n работала не только тогда, когда m>n. Таким образом, по определению, 00 есть та же неопределенность, что и 0/0.

Правильным является комментарий номер 11.
Илья Бирман
По определению чего? Определение в студию.

На комментарий номер 11 я ответил, и позже его автор признала, что в её рассуждениях есть ошибка. Читайте внимательнее.
bis0n
К комментарию 32.

Переход осуществлялся по биному Ньютона для степени 0

Результат возведения суммы двух чисел в степень 0 равен сумме для i от 0 до 0 произведений количества сочетаний из 0 по i, первого слагаемого, возведенного в степень i и второго слагаемого, возведенного в степень (0-i). Этот ряд вырождается в единственное слагаемое:
(a — a)0 = C00 * a0 * (-a)0 = 0! / (0! * (0-0)!) * a0 * (-1)0 * a0 = 1

0!=1!/1 = 1
Роман Парпалак
Ладно... Школьное определение таково: «Нулевая степень любого ненулевого числа есть 1». Но я прекрасно понимаю, какой критике оно может быть подвергнуто. Поэтому предлагаю пока такой аргумент, на уровне матана первого курса :)

Рассмотрим функцию двух переменных, f(x, y) = xy, заданную на множестве [0; +inf)*[0; +inf), кроме точки (0, 0). В этой области она, очевидно, определена и непрерывна. Мы можем доопределить эту функцию в точке (0, 0) каким-либо образом. Наиболее естественный способ — доопределить функцию по непрерывности. Но в точке (0, 0) не существует двойного предела функции f(x, y). Это легко понять, подсчитав предел по направлению, задаваемому прямой x=0 (он равен нулю), и по направлению y=0 (он равен единице).

Таким образом, доопределить функцию по непрерывности нельзя.

Вы, конечно, имеете право утверждать, что 00=1, но я имею точно такое же право утверждать, что 00=0. Поэтому проще сказать, что это неопределенность.
Илья Бирман
Вы рассуждаете так: «Мы не знаем, чему равно 00. Надо попробовать доопределить через непрерывность.». При этом совершенно очевидно, что эта функция не является непрерывной в точке (0; 0), то есть вы избираете путь, который заведомо не может привести вас к успеху. Не кажется ли вам, что это не очень корректно?

Но это всё ладно. Мне кажется интуитивно понятным, что 00=1, безо всяких пределов и прочей чепухи, и при этом никто из спорящий пока не показал мне никакого противоречия, которое при этом возникало бы.

Какой критике вы можете подвергнуть утверждение о том, что нулевая степень любого числа равна единице? Почему вы исключаете ноль из списка этих чисел? Какие конкретно проблемы возникают у вас с нулём? Каким образом вам удаётся их решить, сказав, что 00 неопределено?
Роман Парпалак
А как еще, по-Вашему, можно понять, чему равно 00, кроме как воспользоваться обобщением. Взять предел в точке (0, 0) — вполне естественное обобщение. Других способов обобщения я не знаю.

Согласитесь, что «Мне кажется интуитивно понятным, что 00=1 ...» — это не аргумент :)

Знаете, почему Вам никто не показал противоречия? Просто потому, что до того, как Вы сказали, что 00=1, 00 было неопределено. Поэтому 00=1 ничему не противоречит. Но и 00=0 тоже ничему не противоречит.

Вы говорите, что x0=1, поэтому 00=1. А я Вам отвечаю: 0x=0, поэтому 00=0.

А какие проблемы решаете Вы, сказав, что 00=1?
Илья Бирман
В предпоследнем абзаце вы мне приписываете слова, которых я не говорил.

00 противоречит куче формул и теорем. Все эти проблемы исчезают разом, если 00=1. Где-то в обсуждении выше есть ссылка на Википедию, где это подробнее описано. Но, на мой взгляд, намного важнее именно прочувствовать, почему 00=1, потому, что иначе вам будет казаться, что, это значение было искусственно приписано, лишь бы теоремы работали. А на самом деле 00=1 даже безо всяких там теорем :-)
Роман Парпалак
Я рад за Вас, что Вы это прочувствовали. Наверно, это правильно. Ведь до строгих доказательств математических теорем были наглядные рассуждения. Но математика остается математикой, строгое и формальное доказательство в любом случае необходимо.

Кстати, можете назвать хотя бы несколько теорем и формул, которым «противоречит 00»?
Илья Бирман
Приведите мне строгое формальное доказательство того, что 2+2=4. На мой взгляд, достаточно того, что это интуитивно понятно, удобно для использования (у вас два яблока и у меня два яблока, если сложить в кучу — будет четыре) и ничему не противоречит. Чтобы что-то формально доказать, нужна какая-то аксиоматическая база, ведь от чего-то надо отталкиваться.

Видимо, вы имели в виду, «противоречит 00=0»? Что ж вы ленитесь пойти на Википедию-то? Там перечислены, в частности:
  • Бином Ньютона (если x=−y, то получаем, что 00=1)
  • Распределение Пуассона (вероятность того, что за нулевое время произойдёт ноль некоторых событий, равна 1, то есть функция распределения полностью «концентрируется» в нуле)
  • Количество отображений из пустого множества в пустое (только одно; правда, это тоже может кому-то показаться интуитивно непонятным)
  • Ряд Тейлора для ex при x=0 (очевидно, что e0=1, и это выполняется только если первый член ряда — x0/0! — единица, так как остальные — определённо нули)
В этих всех штуках я совсем не специалист, я просто списал из Википедии и ещё откуда-то там по ссылке (хотя, в общем, понятно, что тут написано). Важно, как я уже сказал, почувствовать, что 00 в действительности есть единица, и дальше лишь убеждаться в истинности своих чувств, когда натыкаешься на то, что разные формулы начинают хорошо себя вести, а противоречий не возникает.
Роман Парпалак
Cтрогое формальное доказательство того, что 2+2=4, можно провести через операцию инкремента (увеличения на 1) :)

Я процитировал Ваше «00 противоречит куче формул и теорем.» из 42 комментария.

На самом деле всё это несколько надуманные примеры. Уверен, что можно привести примеры, говорящие в пользу того, что 00=0.

Хочу заметить другое. Что такое неопределенность? Если апеллировать к интуиции, то это такое «выражение», которое принимает разные значения в разных ситуациях. Так же есть понятие «раскрытие неопределенности». Например, sin(2x)/x в точке 0 — неопределенность вида 0/0, но вполне естественно считать, что в данном случае это выражение равно 2. Точно так же можно привести пример, где неопределенность 0/0 может быть равна любому числу, или даже бесконечности.

00 тоже можно считать неопределенностью, потому что пределы функций x0 и 0x в нуле различны.

Мне понятна Ваша позиция, я изложил свою. Полагаю, что на этом наш спор можно прекратить :)
Илья Бирман
Позвольте мне всё же ответить.

Ваш комментарий был бы более убедительным, если бы вы привели хотя бы один пример, говорящий в пользу того, что 00=0, вместо того, чтобы выражать уверенность, что «можно привести такие примеры».

0/0 является неопределённостью по вполне внятному формальному критерию, а не потому, что его «тоже можно считать». А именно. Частным от деления называется такое число, умножение которого на делитель даст делимое. Под это определение подпадает и 47 (0×47=0), и 1024 (0×1024=0). Вот поэтому — неопределённость. Это первый этап — признание неопределённости исходя из определения. Далее делается попытка доопределить. Например, будем считать, что 0/0=1, так как x/x=1, и вроде бы удобно доопределить с помощью непрерывности. Однако быстро выясняется, что если принять 0/0=1, то можно доказать, что 2=3, то есть это нас приводит к противоречию. Противоречие может следовать только из ложного высказывание, значит 0/0=1 — ложь. Это второй этап — признание невозможности искусственно «удобно» доопределить.

Можно привести пример, где неопределённость вида 0/0 может быть равна любому числу, это не вызывает сомнения. Вы приведите пример, когда «неопределённость» вида 00 может быть равна числу иному, чем 1. Вы говорите: «Вот, есть же неопределённости, они ведь бывают? Вот значит это тоже неопределённость».

Вы перескакиваете через первый этап. Вы пытаетесь доопределить то, что определено и без того. Но даже если закрыть на это глаза, никаких противоречий даже на втором этапе не возникает (кроме мнимого противоречия с 0x, точнее, просто «некрасивости», которую вы всё равно не разрешаете, признав 00 неопределённым).

По крайней мере одна из функций x0 и 0x обязана иметь разрыв в точке ноль, это мы уже обсудили. Вы предлагаете для какого-то непонятного равновесия сделать так, чтобы разрыв был у обеих. Кому это нужно и зачем — загадка.

Пользовательский интерфейс
Доступны два раздела
электронного учебника

Популярное