Подписка на блог

РСС — лучше всего

Ещё есть автоматические трансляции в Тумблере и Же-же. Если что-то не работает, напишите мне: ilyabirman@ilyabirman.ru.

0,(9) = 1

Удивительно, что люди не понимают, что 0,(9) = 1, и знак равенства здесь используется в буквальном смысле.

Вчера Дмитрий Кирсанов прислал мне ссылку на подробное объяснение того, почему 0,(9) = 1 (на английском языке; автор развивает тему также в нескольких последующих заметках).

Развлекло меня в этой статье в первую очередь то, что когда я объяснял этот факт одному человеку где-то полгода назад, я использовал все те же самые доводы, причём в том же порядке. Ещё недавно я оставлял на эту тему комментарий у Реймонда Чена.

Насколько я вижу проблему, многие люди просто концептуально не понимают, как что-то может не стремиться, а «быть равным» бесконечности. Они говорят, что «0,(9) стремится, но не равно 1».

Но 0,(9) — это не последовательность и не функция, а число. Число не может никуда стремиться, оно стоит себе на месте на числовой прямой и не дёргается.

Действительно, последовательность 0,9; 0,99; 0,999; и т. д., при стремлении количества девяток к бесконечности, будет стремиться к единице. Но когда девяток станет ровно бесконечное количество — а именно это выражает запись 0,(9), — тогда это число станет ровно единицей.

Запись 0,(9) означает не то, что девяток в числе становится «всё больше и больше», а то, что их есть бесконечное количество прямо сейчас.

Естественно, что это то же самое число, что и 1.

Update: Продолжение темы.

Подписаться на блог
Поделиться
Отправить
49 комментариев
misnik

А зачем это «концептуально понимать»?

И почему бы просто не писать «1», ведь так понятнее и букв меньше тратится.

Антон

По ссылкам не читал, с автором не согласен,
ведь 0,(9) < 1 верное равенство.
0,(9) на бесконечно малое число меньше еденицы, меееньше, а не равно. 0,(9) никогда не станет 1 при любом количестве девяток.
Если большая точность не требуется, то конечно можно округлить, а с математической точки зрения я считаю запись«0,(9) = 1» неверной.
Видимо, я один из тех кто концептуально не понимает :D

Илья Бирман

0,(9) < 1 - это //неравенство//. И оно, конечно, неверное, ибо утверждать, что 1 < 1 нельзя.

Ваше утверждение, что «0,(9) никогда не станет 1» абсолютно верно :-)

Оно никогда не станет 1, потому, что оно уже 1. Числа не меняют своё значение со временем, понимаете? Вы можете утверждать, что это число равно единице, либо что оно не равно единице, — в этом случае я буду вам доказывать, что вы ошибаетесь. Но утверждать, что оно «никогда не станет 1» вы не можете, так как это утверждение не имеет математического смысла.

Фразу «0,(9) никогда не станет 1 при любом количестве девяток» можно понимать в том смысле, что при любом сколь угодно большом конечном количестве девяток это число будет лишь приближаться к единице, но никогда не достигнет её. Это совершенно верно. Но запись 0,(9) означает, что там бесконечное количество девяток. Именно поэтому оно равно единице.

Кроме того, говорить «с математической точки зрения я считаю» нельзя. С математической точки зрения, не зависимо от того, что считаете вы, 0,(9) = 1 ;-) Данный вопрос не является «спорным вопросом математики» или что-то такое, то есть проблема в тут лишь в том, что не все этот факт интуитивно понимают.

Ну и, если вы ленитесь пойти по ссылке, скажите, на ваш взгляд, 0,(3) = 1/3?

Алексей Копылов

Антону: если, по-вашему, 0,(9) < 1, то скажите, на сколько меньше?

alex dariy

предлагаю немного другое доказательство этого факта, на мой взгляд, более изящное.

поскольку мы имеем дело с вещественной прямой R, то для любых двух различных точек на R всегда найдется третья, отличная от них, точка, принадлежащая отрезку ими ограничиваемому.
в нашем случае третью точку найти не получается. как следствие 0.(9)=1.

это можно развернуть, но суть, я думаю, ясна.

Илья Бирман

Понимаете, у человека, у которого вызывает сомнения тот факт, что 0,(9) = 1, может не меньше сомнений вызвать утверждение про любые две точки и третью между ними. Поэтому изящность данного доказательства смогут польностью оценить только те, кто и без того понимает правду ;-)

Вот человек, на сайт которого я ссылаюсь в заметке, предлагает людям найти среднее арифметическое между 0,(9) и 1.

Владимир Игонин

Есть предложение отныне записывать цены как $99.(9) :)

CKopnuOH

1/3=0,(3)
0,(3)*3=0,(9)
0,(9)=1

Антон

«0,(9) < 1» это конечно неравенство, я ошибся, прошу прошения :)

0,(3) = 1/3
На мой взгляд, это верно.

Для Алексей Копылов: меньше на 1- 0,(9) то есть что-то вроде 0,(1), хотя некоторые :) будут утверждать, что это 0.

найти среднее арифметическое между 0,(9) и 1
0,(1)/2 ? :D

Даже прочитав и разобравшись с доказательствами по ссылке и привидённым здесь, я всё-равно не буду верить в то, что куча девяток после нолика равно еденице. Может интуитивно, может подсознательно или ещё какими то сверхестественными чувствами мне неудобно считать 0,(9) еденицей. (и не пытайтсь меня переубедить, это может только математик с нашей кафедры)

Сложная штука — бесконечность, почти как 4-ое измерение, оно есть, а нарисовать не получается :D

Илья Бирман

Хорошо, если 0,(3) = 1/3, то почему 0,(9) вдруг < 1/1? Постарайтесь внятно это объяснить.

Вы утверждаете, что 1-0,(9) = 0,(1). Из этого неизбежно следует, что 0,(9)+0,(1) = 1. Однако, 0,9+0,1 — это уже 1. Не будете же вы отрицать, что 0,(9)>0,9, а 0,(1)>0,1? Естественно, сумма двух больших чисел будет значительно больше. Правда состоит в том, что 0,(9)+0,(1) = 1,(1) ;-)

Про среднее арифметическое: постарайтесь записать его каким-нибудь из известных человечеству способов записи чисел, иначе конструктивного диалога у нас не выйдет.

Если вы не хотите верить в то, что 0,(9) = 1 — не верьте. Этот вопрос мало кого волнует. Вы либо признаёте это доказанным, либо указываете на ошибку в доказательстве.

Другое дело, что некоторые люди, даже признав корректность всех доказательств, продолжают испытывать сомнения просто потому, что «что-то здесь не так». Тогда задача уже состоит не в том, чтобы доказать человеку это математически, а в том, чтобы показать это разными способами, пока это не станет интуитивно понятно. Вы поясните, вам кажется, что доказательство неверно, или вам просто «не нравится», что 0,(9) = 1? Я вам искренне говорю, что для меня 0,(9) равно единице как-то совершенно интуитивно и естественно, а не только потому, что это следует, скажем, из теории рядов.

LXj

Зачем же такие сложности? Во-первых, доказательство в три строчки уже привел комментатор #6. Во-вторых все несогласные пускай отправляются читать школьный учебник математики. Там точно говорилось, что 0,(9)=1

alex dariy

Илья Бирман:

Понимаете, у человека, у которого вызывает сомнения тот факт, что 0,(9) = 1, может не меньше сомнений вызвать утверждение про любые две точки и третью между ними. Поэтому изящность данного доказательства смогут польностью оценить только те, кто и без того понимает правду ;-)

я думаю, оно может убедить сомневающихся математиков, знающих, что такое действительная прямая. когда я это «выводил» — сам не был уверен. вывел — поверил. =)

Илья Бирман:

Вот человек, на сайт которого я ссылаюсь в заметке, предлагает людям найти среднее арифметическое между 0,(9) и 1.

я читал. по сути, это то же самое, но для меня это не было наглядно. а вот геометрическая интерпретация как-то лучше пошла. =)

dull.ru

Ну это-то всё ясно, а вот более занятные концептуальные задачи могут выглядеть так: Если поделить бесконечность пополам, то что получится? Пол-бесконечности? Если так, то это значит что если делать пополам еденицу, то всё равно останется единица?

Илья Бирман

Данная задача не имеет смысла. «Бесконечность» не является числом, чтобы её делить.

Попытайся сформулировать задачу, не используя существительное «бесконечность» (можно использовать прилагательное «бесконечный» или наречие «бесконечно»).

А вот если делить пополам единицу, то получится 0,5 :-)

alex dariy

Если поделить бесконечность пополам, то что получится?

Ничего не получится. Бесконечность не число. Упс.

Илья Бирман

О, только написал ответ там выше, а вы тут как раз то же самое говорите :-)

Oleg

2 Илья: «...когда девяток станет ровно бесконечное количество...» — это же бред! Количество измеряется числами, а бесконечность — не число (сам же говоришь)! Это «когда» не только не произойдет, но и никем не ожидается (читай ниже).

Слушайте внимательно!

Математика — это не только ценный мех, но еще и математическая нотация, которую нужно четко понимать. Расшифрую пошагово:

«0,a(a)» = «lim vv(n->inf)vv Sum vv(k=1..n)vv (a/10 ^^k^^)» = «a/9»

Кавычки символизируют равенство нотаций (выражений), а не значений этих выражений.
Т. е. математическая запись 0,9(9) — это сокращенная запись суммы по k от 1..inf, а бесконечная сумма — это сокращенная запись предела конечной суммы при верхнем пределе, стремящемся к бесконечности.

Т. е. 0,(9) — это alias предела (для юниксоидов :).

А теперь смертельный номер: lim vv(n->inf)vv f(n) — это тоже сокращенная запись следующего выражения (уже окончательного):

Пределом последовательности f(n) при n->inf называется такое число A, что для любого наперед заданного E найдется такое n*, что для любых n>n* будет выполняться неравенство |f(n)-A|<E. Иными словами, для сколь угодно малой полосы вокруг A, рано или поздно последовательность f(n) окажется внутри неё.

А чтобы это предложение каждый раз не повторять, пишут просто — предел = A. Или, как здесь — 0,(9)=1.

Домашнее задание комментаторам: что такое (подробно) {f’(x0),(f(x0))’}, x0 — заданная точка. И пусть кто-нибудь скажет, что это вектор, или, еще хуже, строка!

Илья Бирман

Олег, вы всё правильно написали, но это для математиков. Доказательство через теорию пределов, безусловно, верно, но совершенно неинтуитивно. Покажите мне хотя бы одного человека, который хорошо понимает пределы и ряды, но не понимает, что 0,(9) = 1.

То, что я написал в заметке, конечно, некорретно математически, но я и не пытался привести корректное математическое доказательство. Их полно и они совершенно бесспорны, но они не помогают людям интуитивно понять, что 0,(9) = 1. Люди продолжают думать, что что-то здесь не так.

Я же уже писал, что этот вопрос в математике не является спорным и давно решён, проблема лишь в том, что многие это не понимают интуитивно. Дак какого чёрта вы приплели теорию пределов? ;-)

Поэтому я оставляю своё высказывание про «когда девяток станет ровно бесконечное количество» в силе. Оно, хоть и некорректно математически, не является бредом. На нём я пытался наглядно продемонстрировать то, что по-научному называется «предельным переходом».

Oleg

Пардон, пара дополнений:

  1. «Кавычки символизируют равенство нотаций (выражений), а не значений этих выражений». Это не значит, что значения не равны. Они либо равны, либо не существуют. Просто при такой записи значения не вычисляются (т. е. это не преобразования, а перефразирование одной и той же сущности).
  2. В строчке про смертельный номер нужно добавить lim ... = A — это тоже сокращенная запись ...
    Иначе определение предела не стыкуется с нотацией и моим выводом в следующем абзаце.

Спасибо.

Илья Бирман

Про 1 — я всё равно не понял, что вы тут хотите сказать. Смотрите мой ответ на предыдущий комментарий.

Обратите также внимание на то, что когда я первый раз использовал термин «быть равным бесконечности», я взял «быть равным» в кавычки. Кроме того, говорить о том, что бесконечность не число, я стал только тогда, когда с ним начали пытаться вести себя как с числом: делить. Я же использовал термин «бесконечность» вполне безопасным способом.

misnik

А ведь на самом деле это все так лишь потому что имярек ввел такое определение предела для построения какой-то своей теоретической байды. Математика как наука — совокупность условностей. Это одна из них. О чем здесь спорить, что доказывать? Это не нужно «понимать», это нужно просто принять. Математика — не естественная наука.

Не находите?

Илья Бирман

Абсолютно нет.

Главная ценность математики в том, что она существует независимо от того, открыли мы её или нет.

Попробуй просто для разнообразия ввести любое другое определение предела. Оно окажется либо неприменимым ни к чему, либо выяснится, что всякий предел «по Миснику» всегда равен пределу по Коши и пределу по Гейне. Попробуй ввести свою непротиворечивую аксиоматику, в которой 0,(9) неожиданно оказалось бы не равно единице. Если тебе вдруг это удастся, посмотрим, какие ещё волшебные эффекты мы в ней обнаружим :-)

Oleg

ОК, по-простому тоже самое:

Запись 0,(9) = 1 означает, что 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... = 1. И эти записи эквивалентны.

А если кому непонятно, откуда такие извращения, объясняю: это такой математический минималистский жаргон. Ну, типа того, что 0+0 > 0 (имеется в виду, что запись А+0 означает А+сколь угодно малое положительное число). Т. е. +0 не употребляется в прямом смысле, а имеет специальное значение.

2 misnik & ilya: математика не только существует сама по себе, но и дополняется теориями в процессе решения практических, естественных задач (например, диффуры, графы, теория чисел и т. п.). Я бы даже сказал, что только базовые абстрактные вещи излучают тяжесть и ты самую самостоятельную фундаментальность, а разные прикладные теории строятся нами и, кстати, многие доказательства там невозможны (для человека) без понимания физического смысла. Например, пределы — это вспомогательное и весьма абстрактное понятие, а вот теория устойчивости — вполне физичное и созданное нами для конкретных расчётов.

Илья Бирман

Ой, зачем же про 0+0, это ведь совсем не то! A+0 — это не число ни разу, как и бесконечность. Это просто запись, обозначающая сторону, с которой аргумент функции приближается к числу. 0+0 не больше нуля, а равно 0, просто мы говорим, что мы смотрим на этот ноль справа.

CKopnuOH

Почему так мало народу восхитилось гениальностью моего доказательства? 8)

Илья Бирман

Потому, что тут надо не доказывать, а убеждать.

То есть задача в том, чтобы выяснить, почему некоторый отдельно взятый человек думает, что 0,(9) < 1 и, борясь именно с его тараканами в голове, показать, что он неправ.

Oleg

Ну, я и не говорил «число 0+0» ;-)
PS для CKopnuOHа и Ильи: даже матмехи и политехи не занимаются убеждением в таких случаях. Понял — тебе повезло. Не понял — думай еще. Доказательства даны.
Хотя это, наверное, и неправильно.

Илья Бирман

У нас со CKopnuOHом этот этап был пройдён в школе :-) А там это как-то настолько наглядно показывали, что, насколько я помню, даже споров в классе никаких не было.

И это всё, конечно, до теории пределов или, тем более, рядов.

Oleg

Ну, у нас не было чисто «вот вам доказательства». Объясняли, конечно, но таких сомневающихся, как Антон [2] не пытались убедить; это делали любящие его одногруппники, а не преподаватели.

Перечитал всё еще раз. Самое главное забыли: проблема понимания 0,(9)=1 состоит лишь в том, что люди не знают (или не согласны/не понимают), что 0,(9) — это сокращенная запись предела, а не некое число, которое «на бесконечно малое число меньше единицы», как пишет Антон (или, что там «куча девяток»). Ну, а с доказательством того, что этот предел = 1 никто и не спорит.

:-) А теперь убеждение по Бирману: «Чуваки, 0,(9) — это УЖЕ предел, а не то, что к нему стремится!»

PS. Я до 2 курса не задумывался над 0,(9), и обратил на это внимание в Фихтенгольце, в разделе «Вещественные числа». Там, как раз такая запись явно вводится для сокращения писанины при объяснении иррациональных чисел-щелей.

Илья Бирман

Олег, ну не согласен я с вами в вашем подходе!

Можно, конечно, использовать теорию пределов, чтобы показать, что «и с этой точки зрения тоже получается 1» (то есть в процессе убеждения), но всё же бесконечные периодические дроби вводятся классе эдак в седьмом, а пределы — только в десятом (и то, это в 31-й школе).

Хорошего понимания смысла бесконечной периодической дроби достаточно, чтобы безо всяких пределов прочувствовать, что 0,(9) = 1. А вот у человека, у которого в голове пределы при x0+0, ε-δ-формулировки, асимптотически приближающиеся к чему-нибудь графики и прочие элементы анализа, часто смешивается всё это в одну кучу, и он говорит бессмысленные вещи вроде «число, бесконечно близкое, но не равное 1».

Oleg

Согласен, подход неверный. Но нефиг проходить 0,(9) без использования понятия «предел».
Привет Фурсенко!

(со мной можно на ты)

solovieff

Разве не верно, что 0,(9) + 0,(0)1 = 1?
Получается, что 0,(0)1 = 0?

Илья Бирман

Поскольку в математике не существует записи 0,(0)1, то хотелось бы понять, что под этим подразумеваете вы :-)

Но в общем, конечно, если вы придумаете толкование записи 0,(0)1, при котором первая строчка будет верна, то неизбежно будет верна и вторая.

solovieff

Я подразумевал бесконечное количество нулей, а в конце единицу. Понятно, что в математике такой записи нет, но всё же разговор шёл о несколько более интуитивном понимании проблемы, насколько я понял.

Кстати, синяя подсветка формы хороша.

Илья Бирман

Правильно ли я понимаю, что бесконечное количество нулей — это такое, которое никогда не кончается? Тогда о каком «конце» может идти речь?

Baka

Получается, что 0,(0)1 = 0?

Конечно — это ведь «предел 10^−n при n→∞». (Если бы такая запись использовалась.)

Илья, когда вам надоест объяснять это, попробуйте объяснить «обычным людям» (мне не надо ^_~), почему рациональных чисел «столько же» (кавычки, да), сколько целых, а вещественных — «намного больше».

Илья Бирман

Ну, вещественных не «намного больше» — ℵ1-ℵ0 — а всего «на один». Кавычки, да :-)

А что, думаете это трудно объяснить? Это лишь вопрос того, кто что понимает под «столько же». Если человека устраивает, что «столько же» — это синоним равномощности, то дальше доказательство самой равномощности довольно тривиально.

jay

илья, у вас высшее техническое образование?
если нет, то прекращайте эти бесплодные рассуждения.
если да, то прекращайте демонстрировать своё невежество.
прав олег.

Илья Бирман

Где и в каком вопросе я демонстрирую своё невежество? Может, будете конкретнее? Разве я где-то отрицал правоту Олега?

jay

в вопросе, вынесенном в заголовок статьи.
невозможно корректно рассуждать о периодических бесконечных дробях без понятия пределов и бесконечных рядов.

Илья Бирман

Прекратите демонстрировать своё невежество вы. Если для вас это невозможно, оставьте это.

Ещё раз, посмотрите, в каком классе (и, главное, как) вводятся бесконечные периодические дроби, в каком — пределы и на каком курсе — ряды.

Я очень рад, что вы разбираетесь в рядах. Но это не значит, что всякий, кто не использует этот аппарат везде, где только возможно, невежествен.

jay

кстати, вполне симпатичный интерфейс у вас получился в шестой версии блога.

jay

ссылку на ваш учебник, по которому вы учились в том самом классе, где написано 0,(9) == 1

без понятия пределов ваше заключение бред. использовать убеждение для доказательства — это нонсенс. существует вполне чёткий математический аппарат. равенства доказываются не на уровне эмоций, а на уровне математики.

Илья Бирман

Бред, нонсенс — это, безусловно, уровень математики.

Доказательство равенства, — на уровне математики — выглядит так:

  1. 1/3 = 0,(3) (по определению)
  2. 0,(3)×3 = 0,(9) = 1/3×3 = 1

Повторю в сотый раз, что это, хоть и доказывает то, что это так, но всё равно оставляет сомнения у многих людей, поэтому дальше приходится смотреть на проблему под разными углами и убеждать, чтобы человек понимал, что это не парадокс Банаха-Тарски, а объективная реальность.

Дойдут руки — напишу заметку про периодические дроби. Пока что можете просто посмотреть в энциклопедию.

binary animal

2 jay: уважаемый, если рассуждать так как вы, то я вынужден признать что понятия луча, прямой (проходимые на уроках геометрии в 7 классе), N, Z и вообще какого-либо множества имеющего бесконечное количество элементов это тоже бред без понятия предела. Более того само понятие бесконечности следуя вам тоже бред, если мы не знаем, что такое предел =)

Вам задействовать «вполне четкий математический аппарат», чтобы вы это поняли или сами дойдете?

jay

2ilya:

:) уже лучше. правда, я вам напомню, что 0,(9)=1 тоже по определению. потому что это предел ряда.

2 binary animal:

не надо язвить. во-первых, геометрия работает со своими, вполне достаточными абстракциями. а во-вторых, таки да. многое из того, что предлагают в школе является чрезмерно упрощённым, а иногда и вовсе неверным. вы и сами наверное помните, как происходила ломка стандартных понятий в институте, когда вскрывалась их суть.

не нужно (умным людям) пытаться упрощённо доказывать то, что доказывается сложнее. ничего, кроме запутывания это не даст.

Илья Бирман

Я вам дал ссылку на определение, прочитайте его, пожалуйста. Все ваши дальнейшие посты, свидительствующие о том, что вы его не прочитали, будут удаляться — я просто устал повторять одно и то же.

Человек, предпочитающий сложное доказательство простому лишь потому, что он достаточно «умный», чтобы его понять, вызывает определённые сомнения в собственной «умности» (см. также Mathematical Beauty).

binary animal

2 jay: не будем язвить, расставим все точки над «i» открываем первый том Фихтенгольца и читаем содержание:

Часть первая: Вещественные числа.
Часть вторая: Пределы.

Вы вообще отдаете себе отчет что весь аппарат вещественных чисел в лучшем учебнике мат.анализа 20 века вводится без понятия предела?

Впору мне спросить — у вас то есть это самое высшее техническое образование? Вы отслушали 4 семестра лекций по мат.анализу или только знакомы с поверхностной «Высшей математикой»? Или может быть вы хотите обвинить самую сильную в мире математическую школу в непоследовательности изложения? =)

Oleg

2 jay: Илья уже получил высшее техническое образование, а я еще нет. Но Илья здесь решает педагогическую задачу, а не математическую. Поэтому и доказательства с математической точки зрения «масло-масленые», но с педагогической — попытка показать тупым гражданам как и что.
Но мне кажется, такой подход тут все равно не работает, т. к. 0,(9) — вопрос хитрой нотации, а не интуитивного понимания. Интуиция ведь и приводит здесь к неправильному пониманию. Поэтому надо объяснять с самых основ.

Илья Бирман

Илья здесь решает педагогическую задачу, а не математическую.

И делаю я это потому, что математическая задача здесь просто-напросто отсутствует ;-)

В новой заметке я объясняю с самых основ.

Spectator

0,(9) не существует.

Илья Бирман

Как раз про это сейчас пишу в занудной заметке :-)

jay

2 binary animal:

прослушайте пятый семестр, молодой человек, потом поговорим. заодно расскажете мне про непоследовательное изложение.

2 олег:

согласен. мне вот только кажется, что илья не решает педагогическую задачу, а выпендривается. начитался лебедева с его бредовым 133-м параграфом.

2 илья:

занялись бы лучше делом, а не страдали ерундой. например поддержку вики-сигтаксиса в заголовки статей едвы добавили бы.

Илья Бирман

binary animal вам уже рассказал про непоследовательное изложение, с первого раза непонятно?

Что вам там кажется — никого не волнует. Старайтесь аргументировать свою точку зрения.

По поводу бреда, нонсенса и страдания ерундой. Вы многократно говорили подобное, не приведя ни одного довода в пользу своей точки зрения. На мой взгляд, сейчас для вас было бы наиболее правильно извиниться передо мной (и binary animal) и выйти из этой дискуссии. Просто для того, чтобы дискутировать, нужно иметь какие-то более весомые доводы, чем «всё это чушь, вы все дураки».

Если вы не понимаете почему вики-синтаксиса в заголовках нет (тем более, он был), спросите об этом. Но только сначала извинитесь за своё поведение.

binary animal

2 jay: С вами все ясно. Пятого семеста матана не существует дальше идет функциональный анализ. С дилетантами разговаривать не вижу смысла, прощайте =)

polimorff

Я не буду «оспаривать истинность», однако укажу на некий imho недочет в приведенном выше доказательстве.
Доказательство с 1/3 «лопается», если не исходить из предпосылки, что 1/3=0,(3).
Т. е. если 0,(3) не является «краткой записью предела» (и даже не важно, что это где-то авторитетно может быть описано, т. к. людям, в отличие от независимо от нас существующей «идеальной математики», иногда можно ошибаться, в особенности в этом непринципиальном вопросе), а стремится к 1/3 в 3 раза медленнее чем 0,(9) стремится к 1.
В таком случае запись 0,(0)1 [а почему бы и не ввести такую запись, что мешает? «переполнение буфера» от представления в уме бесконечности?] показывает именно «разрыв». А среднее арифметическое тогда равно 0,(0)05 =)))
Единичка и «05» здесь — как линия горизонта, которая всегда виднеется вдали (если без привязки к объектам в данным момент на ней находящимся), сколько бы бесконечно человек не бегал по круглой Земле (это условность. она всегда маячит вдали. если бы «бесконечность кончилась», мы наткнулись бы на эти числа).

На мой взгляд, вполне нормальный подход. Так что вопрос в математической парадигме.
Хочется получить что-то определенное? — ОК: 0,(9)=1.
Хочется ощутить бесконечность? — см. 0,(0)1
А в обыденной прошлой и современной человеческой жизни — можно существовать спокойно, т. к. разницы, естественно, нет.

p.s. А вообще, дайте плз ссылку на четкое доказательство.

Илья Бирман

0,(3) не является краткой записью предела (не слушайте вы этих умников!).

0,(3) является десятичной записью одной третьей. Не исходить из этого нельзя, ибо это так по определению. Если вы не признаёте, что 0,(3) — это 1/3, то вы можете с тем же успехом не признавать, что 2 — это число два. То есть, ради бога, но тогда мы вообще ни о чём не договоримся.

Таким образом, имея 0,(3) = 1/3 и умножая всё на 3, получаем 0,(9) = 1. Это и есть чёткое доказательство.

Теперь к записи 0,(0)1 («а почему бы и не ввести такую запись, что мешает?»). Да ничего не мешает, но чтобы запись ввести нужно не только сказать «давайте вводить», но и сформулировать, что она означает. Просто попробуйте это сделать. Романтика про линию горизонта не подпадает ни под какую математическую парадигму :-)

И ещё раз повторяю: числа никуда не стремятся. Стремятся — последовательности и функции. Числа стоят на месте. Поэтому, чтобы определить какое-то число, нужно определить место, в котором оно находится на числовой прямой.

jay

умножьте 0,(873) на 3

целые и дробные числа никуда не стремятся. а периодические дроби «стремятся». именно потому, что являются «последовательностями и функциями».

Илья Бирман

2,(621).

Ну где вы берёте эту ахинею? :-) Книжку-то откройте хоть одну, ну просто ради интереса? Если вы не понимаете даже, что такое число, то как можно вообще вступать в дискуссию о математике?

NoFeaR

Нутром чую, что пол литра, а доказать не могу...

  • Антону: если, по-вашему, 0,(9) < 1, то скажите, на сколько меньше?
  • Оно будет меньше на 0,(0)1
Илья Бирман

Что такое 0,(0)1?

Ссылка по теме специально для вас: http://uue.nm.ru/Merphology/060606.htm

Вы делаете то же самое.

NoFeaR

Ну, если 0,(9) это 1,
то значит 0,(0)1 это 0.

Илья Бирман

Ну это логично, но просто записи 0,(0)1 не бывает.

NoFeaR

Жопа есть, а слова такого нет.

Илья Бирман

В данном случае нет ни слова, ни жопы.

NoFeaR

Понятие бесконечность, вообще, сложно для чел. мозга, вот, например, есть такая задача: «Существует отель, в котором бесконечное число комнат, и в этих комнатах живет бесконечное число гостей, т. е. в каждой комнате по одному гостю. В гостиницу приезжает еще 1 гость, найдеться ли ему свободная комната?»

Илья Бирман

Вы же прекрасно понимаете, что такого отеля не только не существует, но и существовать не может. А раз так, то задачи нет. Если же вы говорите о чисто математическом понимании вопроса, переформулируйте, не используя «отель», «комнаты» и «гостей», чтобы возникла задача. Тогда мы её с лёгкостью решим.

Понятие бесконечность тяжело для мозга только тогда, когда применяешь его не по назначению. Типа «у меня есть бесконечное число конфет». Изначально понятно, что у вас их нет, поэтому зачем об этом вообще затевать разговор.

jay

2бирман: хы. этак и я могу, ты давай по-своему — столбиком.

вот ещё две темы для твоего мозго36ства: иррациональные числа, трансцендентные числа. тоже можешь попробовать поскладывать их столбиком, и заявить что матанализ не нужен — ведь пи это всего лишь отношение длины окружности к диаметру, а корни вообще ерунда.

2nofear: для обозначения величин типа 0,(0)1 как данной задаче, есть специальная сущность. естественно из матанализа. бирман, очевидно, не в курсе, потому что книжки нужно не только открывать, но ещё и читать.

Илья Бирман

Столбиком тут не выйдет. Я уже объяснял, что умножение столбиком для таких чисел невозможно; я его выполнял только потому, что в моём примере не возникало переноса. Число 0,(873), по определению, является результатом деления 873 на 999, чем и воспользуемся:

0,(873)×3 =
= (873/999)×3 =
= 873×3/999 =
= 2619/999 =
= 2 + 621/999 =
= 2,(621).

Беда в том, что вы в силу своей непробиваемой упёртости не хотите понять, что 0,(873) = 873/999 по определению (= 97/111; оставил в 999-х для большей наглядности), потому, что пытаетесь определить период, наперекор всем математикам, простите, через жопу, а потому разговаривать с вами совершенно бесполезно.

Почему Пи нельзя складывать столбиком я уже объяснял, но это не для ваших мозгов. Кстати, не хочу вас шокировать, но ни Пи, ни корни никакого отношения к анализу действительно не имеют.

Что касается вашего последнего высказывания, то я последний раз предлагаю вам извиниться за постоянные безосновательные оскорбления, и если вы моё предложение не примите, либо не обоснуете свою чушь, то я вас выгоню отсюда к чёртовой матери.

Пожалуйста, прочитайте сами хоть одну книгу, где говорится про бесконечные периодические дроби, я вас почти умоляю. Не ради меня, ради себя. Ну, приятно же не быть идиотом? Не будьте им, узнайте правду от математиков, раз не верите мне. Хотите, я вам даже ссылку дам, где можно книжки в PDF скачать, а? А то вашего ума может и не хватить, чтобы найти самому.

Сковородкин

Простите, что не дочитал до конца комментарии, но!

Абсолютно не верное утверждение, что 1/3 = 0,(3)!!!
0,(3)-> 1/3 но НЕ РАВНО ему, и как следствие 0,(9)-> к единице но не равно ей!

Так что Ваше утверждение «0,(3) не просто равно одной третьей, это есть одна третья, ведь мы специально эту запись придумали, чтобы представлять это число в виде десятичной дроби» не верно изначально!

Илья Бирман

Не кричите. Во-первых, прочитайте все комментарии. Во-вторых, ознакомитесь с тем, что означает запись 0,(3). С этим может помочь даже БСЭ на Яндексе. Но лучше открыть учебник по математике, главу про вещественные числа.

0,(3) равно 1/3 независимо от того, что думаете по этому поводу вы лично. Это так по определению.

0,(9) равно 1, снова, независимо от того, согласны вы с этим или нет. Это не является спорным вопросом математики. Вопрос лишь в том, что некоторые это понимают, некоторые нет.

Запись 0,(3)→1/3 ничего не обозначает, такой записи в математике не существует.

М.

народ, по моему скромному мнению 0,(9) не может быть равно 1, потому что оно точно не может быть равно 1,(0), скажем так. а в примере 1 — 0,(9) получается не ноль, а бесконечно малое число.

М.

Илья Бирман

0,(9) = 1,(0), это запись одного и того же числа.

Бесконечно малое число — это что? Где конкретно на числовой прямой оно находится?

М.

да я не спорю, что 0,(9) обязано быть равным 1, просто это, в общем, дефект десятичной системы.
бесконечно малое число, в принципе, можно изображать и как 0,(0)1, как уже предлагали. просто ввести понятие бесконечно малого числа. с точки зрения числовой прямой это число, находящееся в точке 0, но не равное нулю, если вы изволите, ничего оригинальнее придумать не могу. что-то вроде «0+0 > 0»

М.

Илья Бирман

В точке 0 два числа что ли находится? Неравных друг другу при этом?

М.

ну, нельзя же сказать, что оно стремится к нулю, оно ж число, а не переменная.
ОК, перефразирую: находится бесконечно близко к точке ноль справа от оси координат, ближе любого другого положительного числа.

М.

Илья Бирман

Бесконечно близко к точке ноль находится ноль. Ну, да ладно...

Если ваше число, назовём его x, таково, что оно больше нуля, но при этом меньше любого другого положительного числа, то чему будет равно x/2?

М.

поскольку оно бесконечно мало, операции с ним — дело щекотливое. и вообще, бесконечно малые числа не я придумал, так что мне тут пересказывать нечего, на Вики исчерпывающие статейки: http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

думаю, проблему о 0,(9)=1 можно решить более абстрактно, чтобы не было споров: да, равно, но мы смотрим на единицу слева. :: ))

М.

Илья Бирман

Как вы быстро сдались и отправили меня в Википедию!

Раз уж вы наткнулись на эту статью, то могли бы её и прочитать. В первом же абзаце там говорится о том, что это «бесконечно малое» не является действительными числом. А запись A,(B) придумана для действительных чисел. На самом деле, статья интересная, советую вам её прочесть ;-)

А вообще, 2>3, если смотреть на двойку через увеличительное стекло, да. А числа 5 вообще не существует, если отвернуться от числовой прямой и смотреть в другую сторону. Математический подход.

М.

во-первых, предложил бы вам сменить тон. я не утверждаю, что бесконечно малое число является действительным, я это нигде не утверждал, так что ваши претензии как минимум необоснованы, а скорее уж неадекватны.
во-вторых, статью на Вики я дал для того, чтобы вам указать, что бесконечно малые числа — не фикция, которую я только что придумал. в той же Вики, если вы прочтёте дальше, есть отдельные ссылки на операции с бесконечно малыми числами, мне второй раз искать влом, предлагаю вам самому этим заняться.

кстати, я не доказывал нигде, что два больше трёх, не занимайтесь провокацией, приписывая мне что-то, к чему я не причастен. спасибо.

М.

Илья Бирман

Насколько я понимаю операцию вычитания, разностью между двумя действительными числами может быть только действительное число. Поэтому, утверждаете вы это или нет, но 1-0,(9) обязано быть действительным, а значит «бесконечно малым» быть не может. (Или я неправильно понимаю вычитание.)

В статье, ссылку на которую вы дали, говорится, что «бесконечно малые» формализовались впервые лишь в теории пределов, а сегодня их используют только в «нестандартном анализе», который сам по себе является пока довольно сомнительной областью.

А два больше трёх — это просто ответ на ваше «да равно, но на единицу мы смотрим слева». Я хочу сказать, что, с какой стороны не смотри, единица — это единица. Можно даже вообще не смотреть.

Макс Лапшин

Факт, что запись 0,(9) и 1 обозначают одно и тоже число объясняется на 1 курсе. Это не какая-то теорема, а постулативный факт. Корректность такого определения, однако, доказывается там же.

Иван Алексеенко

Илья Бирман, вы не правы, когда утверждете, что 0,(9)=1.
Вам уже объясняли факты, на которые вы отвечаете «такого в математике не существует», но это всеровно, что досихпор утверждать что Земля плоская. Иными словами — вы отрицаете любые достоверные факты пользуясь лишь НАБОРОМ того что успели усвоить и отрицаете дополнения к НАБОРУ своих знаний.
Вот факты:

  1. 0,(9)<1, а значит 0,(9)<>1... т. е. не может быть ровно.
  2. 1-0,(9)=0,(0)1 — запись означает, что в скобках будет столько же нолей, сколько запишите девяток. И запишите их столько сколько хватит бумаги (во всем мире :-D ).
  3. Перед тем как доказать что 1/3<>0,(3) я расскажу такой математический анекдот...
    Встретились два математика — один еврей, другой русский. Стали спорить кто назовет самое большое число. После часовой перепалки поочередно называя числа и даже записывая их на досках, русский записал 1 и через знак бесконечности пояснил — «и бесконечное число нолей».
    Еврей не долго думая дописывает к обозначению русского «+1»...
    Думаю ненадо пояснять у кого число вышло больше. Поясню лишь то, что любое выражение есть число!

Теперь доказательство 1/3<>0,(3) и следовательно того что 0,(3)х3<>1
Скобки в дробной части строчной записи (читай ИЗОБРАЖЕНИЯ) числа (в десятичной системе) были придуманны для обозначения приближенного значения дробей. Т. е. зависывая периодные скобки в числе 0,(3) — мы указываем на тот факт, что в 10-ой СС (Системе Счисления) число близко к выражению 1/3. Или ровно ЧИСЛУ 0,1 в 3-чной СС !
Привожу цитату из стандартизации математических обозначений: «Математика же стремится более к точности чем к лёгкости обозначений, и поэтому нужное число по мере возможности будет записано в виде выражения, нежели приближённо.»
Следовательно правильнее записывать значение 1/3 именно как «1/3» и никак иначе, если вы хотите отразить его на прямой относительно точки отсчета координат (т. е. ноля). А выражение 0,(3) будет лишь приближением к 1/3.
От того 0,(3)х3=0,(9) но, не 1 !!! и лишь 1/3х3=1 !!! Как вам сказал М. «...просто это, в общем, дефект десятичной системы.»

Вот еще пример... В пересмотре на числовой прямой, представьте себе систему счисления, где каждый отрезок обозначающий 1-цу делился бы не на 10 частей (или их множителей), а на 3. А значит 1/3 уже была бы записанна НЕ приближенно (в строчном ИЗОБРАЖЕНИИ числа), а ТОЧНО!
А вы, пользуясь 10-ой Системой Счисления, в периоде лишь приближенное значение записываете! (см. факт №2)

Этими изложениями я лишь хочу чтобы вы определились сначала с обозначениями. Т. е. раз вы приближенно записываете 1/3, значит вы уже отклонились от точности вычислений.
И последнее:
Раз вы неточно вычисляете, значит вы не вправе что либо утверждать. Особенно такой бред как эта тема, которая по сути является ВАШИМ вопросом в поиске истины. Ничего постыдного в этом нет, но при условии, что вы допускаете дополнения к НАБОРУ ВАШИХ ЗНАНИЙ.

Иван Алексеенко

Забыл дополнить: не перенимайте ошибки других, когда имеете возможность самому рассуждать. И тем более, не пропагандируйте эти ошибочные утверждения, бившись кулаком об грудь, втирая всем что это убеждение есть ИСТИНА. Однако, истина постигается именно в таких спорных вопросах. Точнее эти споры являются ничем иным как толчком побуждающим человечество на поиски ИСТИНЫ.

Илья Бирман

Смешная проповедь у вас получилась.

Пользовательский интерфейс
Доступен первый раздел
электронного учебника

Популярное