0,(9) < 1 — это неравенство. И оно, конечно, неверное, ибо утверждать, что 1 < 1 нельзя.

Ваше утверждение, что «0,(9) никогда не станет 1» абсолютно верно :-)

Оно никогда не станет 1, потому, что оно уже 1. Числа не меняют своё значение со временем, понимаете? Вы можете утверждать, что это число равно единице, либо что оно не равно единице, — в этом случае я буду вам доказывать, что вы ошибаетесь. Но утверждать, что оно «никогда не станет 1» вы не можете, так как это утверждение не имеет математического смысла.

Фразу «0,(9) никогда не станет 1 при любом количестве девяток» можно понимать в том смысле, что при любом сколь угодно большом конечном количестве девяток это число будет лишь приближаться к единице, но никогда не достигнет её. Это совершенно верно. Но запись 0,(9) означает, что там бесконечное количество девяток. Именно поэтому оно равно единице.

Кроме того, говорить «с математической точки зрения я считаю» нельзя. С математической точки зрения, не зависимо от того, что считаете вы, 0,(9) = 1 ;-) Данный вопрос не является «спорным вопросом математики» или что-то такое, то есть проблема в тут лишь в том, что не все этот факт интуитивно понимают.

Ну и, если вы ленитесь пойти по ссылке, скажите, на ваш взгляд, 0,(3) = 1/3?

Понимаете, у человека, у которого вызывает сомнения тот факт, что 0,(9) = 1, может не меньше сомнений вызвать утверждение про любые две точки и третью между ними. Поэтому изящность данного доказательства смогут польностью оценить только те, кто и без того понимает правду ;-)

Вот человек, на сайт которого я ссылаюсь в заметке, предлагает людям найти среднее арифметическое между 0,(9) и 1.

Хорошо, если 0,(3) = 1/3, то почему 0,(9) вдруг < 1/1? Постарайтесь внятно это объяснить.

Вы утверждаете, что 1-0,(9) = 0,(1). Из этого неизбежно следует, что 0,(9)+0,(1) = 1. Однако, 0,9+0,1 — это уже 1. Не будете же вы отрицать, что 0,(9)>0,9, а 0,(1)>0,1? Естественно, сумма двух больших чисел будет значительно больше. Правда состоит в том, что 0,(9)+0,(1) = 1,(1) ;-)

Про среднее арифметическое: постарайтесь записать его каким-нибудь из известных человечеству способов записи чисел, иначе конструктивного диалога у нас не выйдет.

Если вы не хотите верить в то, что 0,(9) = 1 — не верьте. Этот вопрос мало кого волнует. Вы либо признаёте это доказанным, либо указываете на ошибку в доказательстве.

Другое дело, что некоторые люди, даже признав корректность всех доказательств, продолжают испытывать сомнения просто потому, что «что-то здесь не так». Тогда задача уже состоит не в том, чтобы доказать человеку это математически, а в том, чтобы показать это разными способами, пока это не станет интуитивно понятно. Вы поясните, вам кажется, что доказательство неверно, или вам просто «не нравится», что 0,(9) = 1? Я вам искренне говорю, что для меня 0,(9) равно единице как-то совершенно интуитивно и естественно, а не только потому, что это следует, скажем, из теории рядов.

Данная задача не имеет смысла. «Бесконечность» не является числом, чтобы её делить.

Попытайся сформулировать задачу, не используя существительное «бесконечность» (можно использовать прилагательное «бесконечный» или наречие «бесконечно»).

А вот если делить пополам единицу, то получится 0,5 :-)

О, только написал ответ там выше, а вы тут как раз то же самое говорите :-)

Олег, вы всё правильно написали, но это для математиков. Доказательство через теорию пределов, безусловно, верно, но совершенно неинтуитивно. Покажите мне хотя бы одного человека, который хорошо понимает пределы и ряды, но не понимает, что 0,(9) = 1.

То, что я написал в заметке, конечно, некорретно математически, но я и не пытался привести корректное математическое доказательство. Их полно и они совершенно бесспорны, но они не помогают людям интуитивно понять, что 0,(9) = 1. Люди продолжают думать, что что-то здесь не так.

Я же уже писал, что этот вопрос в математике не является спорным и давно решён, проблема лишь в том, что многие это не понимают интуитивно. Дак какого чёрта вы приплели теорию пределов? ;-)

Поэтому я оставляю своё высказывание про «когда девяток станет ровно бесконечное количество» в силе. Оно, хоть и некорректно математически, не является бредом. На нём я пытался наглядно продемонстрировать то, что по-научному называется «предельным переходом».

Про 1 — я всё равно не понял, что вы тут хотите сказать. Смотрите мой ответ на предыдущий комментарий.

Update: Обратите также внимание на то, что когда я первый раз использовал термин «быть равным бесконечности», я взял «быть равным» в кавычки. Кроме того, говорить о том, что бесконечность не число, я стал только тогда, когда с ним начали пытаться вести себя как с числом: делить. Я же использовал термин «бесконечность» вполне безопасным способом.

Абсолютно нет.

Главная ценность математики в том, что она существует независимо от того, открыли мы её или нет.

Попробуй просто для разнообразия ввести любое другое определение предела. Оно окажется либо неприменимым ни к чему, либо выяснится, что всякий предел «по Миснику» всегда равен пределу по Коши и пределу по Гейне. Попробуй ввести свою непротиворечивую аксиоматику, в которой 0,(9) неожиданно оказалось бы не равно единице. Если тебе вдруг это удастся, посмотрим, какие ещё волшебные эффекты мы в ней обнаружим :-)

Ой, зачем же про 0+0, это ведь совсем не то! A+0 — это не число ни разу, как и бесконечность. Это просто запись, обозначающая сторону, с которой аргумент функции приближается к числу. 0+0 не больше нуля, а равно 0, просто мы говорим, что мы смотрим на этот ноль справа.

Потому, что тут надо не доказывать, а убеждать.

То есть задача в том, чтобы выяснить, почему некоторый отдельно взятый человек думает, что 0,(9) < 1 и, борясь именно с его тараканами в голове, показать, что он неправ.

У нас со CKopnuOHом этот этап был пройдён в школе :-) А там это как-то настолько наглядно показывали, что, насколько я помню, даже споров в классе никаких не было.

И это всё, конечно, до теории пределов или, тем более, рядов.

Олег, ну не согласен я с вами в вашем подходе!

Можно, конечно, использовать теорию пределов, чтобы показать, что «и с этой точки зрения тоже получается 1» (то есть в процессе убеждения), но всё же бесконечные периодические дроби вводятся классе эдак в седьмом, а пределы — только в десятом (и то, это в 31-й школе).

Хорошего понимания смысла бесконечной периодической дроби достаточно, чтобы безо всяких пределов прочувствовать, что 0,(9) = 1. А вот у человека, у которого в голове пределы при x→0+0, ε-δ-формулировки, асимптотически приближающиеся к чему-нибудь графики и прочие элементы анализа, часто смешивается всё это в одну кучу, и он говорит бессмысленные вещи вроде «число, бесконечно близкое, но не равное 1».

Поскольку в математике не существует записи 0,(0)1, то хотелось бы понять, что под этим подразумеваете вы :-)

Но в общем, конечно, если вы придумаете толкование записи 0,(0)1, при котором первая строчка будет верна, то неизбежно будет верна и вторая.

Правильно ли я понимаю, что бесконечное количество нулей — это такое, которое никогда не кончается? Тогда о каком «конце» может идти речь?

Ну, вещественных не «намного больше» — ℵ₁-ℵ₀ — а всего «на один». Кавычки, да :-)

А что, думаете это трудно объяснить? Это лишь вопрос того, кто что понимает под «столько же». Если человека устраивает, что «столько же» — это синоним равномощности, то дальше доказательство самой равномощности довольно тривиально.

Где и в каком вопросе я демонстрирую своё невежество? Может, будете конкретнее? Разве я где-то отрицал правоту Олега?

Прекратите демонстрировать своё невежество вы. Если для вас это невозможно, оставьте это.

Ещё раз, посмотрите, в каком классе (и, главное, как) вводятся бесконечные периодические дроби, в каком — пределы и на каком курсе — ряды.

Я очень рад, что вы разбираетесь в рядах. Но это не значит, что всякий, кто не использует этот аппарат везде, где только возможно, невежествен.

Бред, нонсенс — это, безусловно, уровень математики.

Доказательство равенства, — на уровне математики — выглядит так:

1. 1/3 = 0,(3) (по определению)
2. 0,(3)×3 = 0,(9) = 1/3×3 = 1

Повторю в сотый раз, что это, хоть и доказывает то, что это так, но всё равно оставляет сомнения у многих людей, поэтому дальше приходится смотреть на проблему под разными углами и убеждать, чтобы человек понимал, что это не парадокс Банаха-Тарски, а объективная реальность.

Дойдут руки — напишу заметку про периодические дроби. Пока что можете просто посмотреть в энциклопедию.

Я вам дал ссылку на определение, прочитайте его, пожалуйста. Все ваши дальнейшие посты, свидительствующие о том, что вы его не прочитали, будут удаляться — я просто устал повторять одно и то же.

Человек, предпочитающий сложное доказательство простому лишь потому, что он достаточно «умный», чтобы его понять, вызывает определённые сомнения в собственной «умности» (см. также Mathematical Beauty).

Илья здесь решает педагогическую задачу, а не математическую.

И делаю я это потому, что математическая задача здесь просто-напросто отсутствует ;-)

В новой заметке я объясняю с самых основ.

Как раз про это сейчас пишу в занудной заметке :-)

binary animal вам уже рассказал про непоследовательное изложение, с первого раза непонятно?

Что вам там кажется — никого не волнует. Старайтесь аргументировать свою точку зрения.

По поводу бреда, нонсенса и страдания ерундой. Вы многократно говорили подобное, не приведя ни одного довода в пользу своей точки зрения. На мой взгляд, сейчас для вас было бы наиболее правильно извиниться передо мной (и binary animal) и выйти из этой дискуссии. Просто для того, чтобы дискутировать, нужно иметь какие-то более весомые доводы, чем «всё это чушь, вы все дураки».

Если вы не понимаете почему вики-синтаксиса в заголовках нет (тем более, он был), спросите об этом. Но только сначала извинитесь за своё поведение.

0,(3) не является краткой записью предела (не слушайте вы этих умников!).

0,(3) является десятичной записью одной третьей. Не исходить из этого нельзя, ибо это так по определению. Если вы не признаёте, что 0,(3) — это 1/3, то вы можете с тем же успехом не признавать, что 2 — это число два. То есть, ради бога, но тогда мы вообще ни о чём не договоримся.

Таким образом, имея 0,(3) = 1/3 и умножая всё на 3, получаем 0,(9) = 1. Это и есть чёткое доказательство.

Теперь к записи 0,(0)1 («а почему бы и не ввести такую запись, что мешает?»). Да ничего не мешает, но чтобы запись ввести нужно не только сказать «давайте вводить», но и сформулировать, что она означает. Просто попробуйте это сделать. Романтика про линию горизонта не подпадает ни под какую математическую парадигму :-)

И ещё раз повторяю: числа никуда не стремятся. Стремятся — последовательности и функции. Числа стоят на месте. Поэтому, чтобы определить какое-то число, нужно определить место, в котором оно находится на числовой прямой.

2,(621).

Ну где вы берёте эту ахинею? :-) Книжку-то откройте хоть одну, ну просто ради интереса? Если вы не понимаете даже, что такое число, то как можно вообще вступать в дискуссию о математике?

Что такое 0,(0)1?

Ссылка по теме специально для вас: http://uue.nm.ru/Merphology/060606.htm

Вы делаете то же самое.

Ну это логично, но просто записи 0,(0)1 не бывает.

В данном случае нет ни слова, ни жопы.

Вы же прекрасно понимаете, что такого отеля не только не существует, но и существовать не может. А раз так, то задачи нет. Если же вы говорите о чисто математическом понимании вопроса, переформулируйте, не используя «отель», «комнаты» и «гостей», чтобы возникла задача. Тогда мы её с лёгкостью решим.

Понятие бесконечность тяжело для мозга только тогда, когда применяешь его не по назначению. Типа «у меня есть бесконечное число конфет». Изначально понятно, что у вас их нет, поэтому зачем об этом вообще затевать разговор.

Столбиком тут не выйдет. Я уже объяснял, что умножение столбиком для таких чисел невозможно; я его выполнял только потому, что в моём примере не возникало переноса. Число 0,(873), по определению, является результатом деления 873 на 999, чем и воспользуемся:

0,(873)×3 =
= (873/999)×3 =
= 873×3/999 =
= 2619/999 =
= 2 + 621/999 =
= 2,(621).

Беда в том, что вы в силу своей непробиваемой упёртости не хотите понять, что 0,(873) = 873/999 по определению (= 97/111; оставил в 999-х для большей наглядности), потому, что пытаетесь определить период, наперекор всем математикам, простите, через жопу, а потому разговаривать с вами совершенно бесполезно.

Почему Пи нельзя складывать столбиком я уже объяснял, но это не для ваших мозгов. Кстати, не хочу вас шокировать, но ни Пи, ни корни никакого отношения к анализу действительно не имеют.

Что касается вашего последнего высказывания, то я последний раз предлагаю вам извиниться за постоянные безосновательные оскорбления, и если вы моё предложение не примите, либо не обоснуете свою чушь, то я вас выгоню отсюда к чёртовой матери.

Пожалуйста, прочитайте сами хоть одну книгу, где говорится про бесконечные периодические дроби, я вас почти умоляю. Не ради меня, ради себя. Ну, приятно же не быть идиотом? Не будьте им, узнайте правду от математиков, раз не верите мне. Хотите, я вам даже ссылку дам, где можно книжки в PDF скачать, а? А то вашего ума может и не хватить, чтобы найти самому.

Не кричите. Во-первых, прочитайте все комментарии. Во-вторых, ознакомитесь с тем, что означает запись 0,(3). С этим может помочь даже БСЭ на Яндексе. Но лучше открыть учебник по математике, главу про вещественные числа.

0,(3) равно 1/3 независимо от того, что думаете по этому поводу вы лично. Это так по определению.

0,(9) равно 1, снова, независимо от того, согласны вы с этим или нет. Это не является спорным вопросом математики. Вопрос лишь в том, что некоторые это понимают, некоторые нет.

Запись 0,(3)->1/3 ничего не обозначает, такой записи в математике не существует.

0,(9) = 1,(0), это запись одного и того же числа.

Бесконечно малое число — это что? Где конкретно на числовой прямой оно находится?

В точке 0 два числа что ли находится? Неравных друг другу при этом?

Бесконечно близко к точке ноль находится ноль. Ну, да ладно...

Если ваше число, назовём его x, таково, что оно больше нуля, но при этом меньше любого другого положительного числа, то чему будет равно x/2?

Как вы быстро сдались и отправили меня в Википедию!

Раз уж вы наткнулись на эту статью, то могли бы её и прочитать. В первом же абзаце там говорится о том, что это «бесконечно малое» не является действительными числом. А запись A,(B) придумана для действительных чисел. На самом деле, статья интересная, советую вам её прочесть ;-)

А вообще, 2>3, если смотреть на двойку через увеличительное стекло, да. А числа 5 вообще не существует, если отвернуться от числовой прямой и смотреть в другую сторону. Математический подход.

Насколько я понимаю операцию вычитания, разностью между двумя действительными числами может быть только действительное число. Поэтому, утверждаете вы это или нет, но 1-0,(9) обязано быть действительным, а значит «бесконечно малым» быть не может. (Или я неправильно понимаю вычитание.)

В статье, ссылку на которую вы дали, говорится, что «бесконечно малые» формализовались впервые лишь в теории пределов, а сегодня их используют только в «нестандартном анализе», который сам по себе является пока довольно сомнительной областью.

А два больше трёх — это просто ответ на ваше «да равно, но на единицу мы смотрим слева». Я хочу сказать, что, с какой стороны не смотри, единица — это единица. Можно даже вообще не смотреть.