Подписка на блог

РСС — лучше всего

Ещё есть автоматические трансляции в Тумблере и Же-же. Если что-то не работает, напишите мне: ilyabirman@ilyabirman.ru.

Необходимый признак

Меня ещё раздражает терминология «необходимый признак» и «достаточный признак». Это придумал какой-то умник-заумник, который хотел, чтобы математика казалась очень сложной штукой, постижимой только теми, у кого есть борода (т. н. консилиумом бородатых дядек). Из этой же когорты (или плеяды) был человек, придумавший понятие конгруэнтности.

У нас в школе это называлось «свойство» и «признак». Свойство — это то, что свойственно объекту, а признак — это то, по чему его можно признать. Термин «необходимый признак» идиотичен хотя бы потому, что признать, например, ряд сходящимся, используя необходимый признак — нельзя. То есть необходимый признак не является признаком вовсе. Это делает его чем-то вроде телефонной трубки, отбойного молотка и стола справок.

Ну и, кроме того, эта терминология заставляет лишний раз задумываться над самой собой, вместо того, чтобы задуматься над сутью вещей. Она заставляет нас смотреть на вещи не с той стороны.

Например, «необходимый признак» равенства треугольников — это попарное равенство углов. Но это необходимый, но не достаточный признак! То есть признать треугольники равными ещё нельзя. То есть — бессмысленная информация.

Эта же информация приобретает смысл при формулировании её нормальным образом, например:

Свойство равных треугольников. У равных треугольников попарно равны все углы.

Теперь, решая какую-то задачу, и дойдя до того, что какие-то треугольники равны, мы сможем сделать выводы о равенстве углов. Или:

Признак неравенства треугольников. Треугольники не равны, если не равны попарно все их углы.

Теперь мы знаем, что если у треугольников попарно не равны все углы, то треугольники не могут быть равны.

Подписаться на блог
Поделиться
Отправить
13 комментариев
Евгений

Честно говоря я не очень понял откуда ты взял эти термины:)
Дело в том, что всю жизнь это называлось «необходимое условие» и «достаточное условие».
Даже у нас (с тобой:)) в школе это так называлось, ну и соответственно свойством и признаком.
Да, свойство и признак это удобно и просто. Но более привычно звучит так как это написано в, наверное, большинстве источников по любому разделу математики. Бывает формулируются необходимое условия (но не достаточное), достаточное условие (не являющееся необходимым) и необходимое_и_достаточное условие aka критерий (зачем тогда до этого остальные два?:)). А бывает формулируется критерий сразу. Типа:
Для того, чтобы последовательность a1a2a3... была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого eps>0 существовал такой номер N, что при n>N и любом p>0, выполнялось бы неравенство: |an+p-an|<eps.
Но в доказательстве обычно доказывается сначала необходимость потом достаточность, т. е. рассматривают утверждение как свойство и признак.

Еще вместо необходимо и достаточно бывает «тогда и только тогда», «если и только если».

Такова логика изложения почти везде. Традиция типа.

Критерий Бирмана-Шапиро (гипотеза, дается без доказательства):
Для необходимости достаточного условия необходимо и достаточно доказать его необходимость.

На самом деле, я уже не знаю что пишу. Главная мысль в том, что если в твоих, Илья, терминах заменить «признак» «условием», наступает катарсис. Вроде как.

А, да! Бороды у меня нет, если че. Оказывается поэтому математика для меня непостижима. О какой-либо конгруэнтности лучше вообще не думать:)

Разрыв мозга. Спать.

Илья Бирман

Женька! Спасибо за клёвый комментарий :-) Как твои дела?

Я не высказывался против необходимости и достаточности, мне эти понятия вполне понятны ;-) И про «необходимо и достаточно», и про «тогда и только тогда, когда» мне всё ясно и вопросов нет. Меня смущает конкретно словосочетание «необходимый признак», встречающееся в некоторых пособиях.

Евгений

Он не клёвый, просто длинный;) Дела по разному.

Да я не сомневаюсь, что ты все это знаешь. Как я уже писал, я не знаю зачем писал. А такие «некоторые» пособия просто не читай:)

А ты просто, как и я, иногда живешь ночами, или это тебя будит спец. скрипт, когда коментирует кто-то, ты вбиваешь ответ и сразу опять спать?

Илья Бирман

Да я вот что-то всегда живу ночами.

«Некоторые пособия» — это мой любимый двухтомник Пискунова по дифференциальному и интегральному исчислению, который настолько любимый, что я его специально себе заказал на Озоне, чтобы стоял на полке. В нём многое дано клёво и понятно, намного проще, чем в других книжках. А вот с необходимым признаком — жопа.

Евгений

Ага, помню такую книжку*2.
Наверное просто надо вовремя засечь семантику и забить на лексику. Ну или типа того.

Олег Андреев

Очень хорошее замечание. Хорошие примеры.

PS. Прямо-таки можно начинать проект учебника «Математика для людей».

Артем

!!Признак неравенства треугольников. Треугольники не равны, если не равны попарно все их углы!!

Почему все то? Достаточно одного не совпадения

Илья Бирман

И что, что достаточно?

Я сформулировал иначе то же самое утверждение, чтобы оно обрело смысл, а вы предлагаете другое.

Артем

Во-первых, я бы вообще не стал делать этого утверждения, так как это:

!!Свойство равных треугольников. У равных треугольников попарно равны все углы.!!

достаточно.

Во-вторых, из последнего следует, что даже если первые два угла несовпали, то остальные все равно надо проверить :) . Если есть частичное совпадение, то последнее утверждение теряет смысл.

Илья Бирман

Из последнего не следует, что надо проверить, Артём, ну логику-то изучите хотя бы вкратце.

Артем

Логика у меня программисткая. Слово «все» на мой взгляд правильно подчеркивает то, о чем я говорю.

Илья Бирман

Мне остаётся только развести руками. Просто знайте, что вы ошибаетесь.

А если захотите ознакомиться с основами логики — что для программиста совсем не лишнее — в интернете полно источников.

Роман Парпалак

Возражения в первом комментарии верные, полностью их поддерживаю.

От себя добавлю, что чувствую себя некомфортно, работая с терминами «необходимо» и «достаточно». Как только встречаю их, сразу же начинаю думать, что из чего следует. Мне проще, когда условие теорем сформулировано так: «если А, то Б». Сразу понятно, в какую сторону идет импликация. Именно так я их везде и формулировал, в том числе и на экзаменах.

Антон Пыжёв

Илья, а что у Вас за издание Пискунова? У меня на полке стоит пятое издание 1965 года. Перечитываю избранные главы обычно, но такого не припомню. «Необходимый признак» точно ухо бы резанул. Может, современные издатели, супостаты, чего от себя накидали?

А вообще классные книжки :-) И еще Фихтенгольцевский матанализ. Всё просто и понятно.

solovieff

Никогда не встречался с такими понятиями, всегда были условия.

Ilya RooT

!!Дело в том, что всю жизнь это называлось «необходимое условие» и «достаточное условие».!!

А у нас в МИРЭА это называется признаками. Например: «Необходимый признак сходимости, достаточный признак сходимости для рядов с положительными членами» и т. д. В принципе привык, так как:
1) Чтобы доказать, что ряд сходится, нужно проверить выполнение достаточного признака.
2) Чтобы доказать, что ряд расходится, достаточно показать невыполнение необходимого признака.

По-моему, логично. Как кого учили, тот к такой терминологии и привык.

Илья Бирман

Всё-таки, это не логично, а привычно (вам, и многим другим).

Mercury

Игорь Николаевич Кохановский говорил нам на 1 курсе:

Признак — достаточное условие.
Критерий — необходимое и достаточное условие.

Раиль Сулейманов

Необходимые условия обычно служат для проверки. Скажем, исследуешь ряд на сходимость, проверяешь на необходимый признак сходимости (предел общего члена должен стремиться к 0), не сходится общий член — сразу можно сказать, что и ряд к конечной сумме не сходится. Много чего можно таким образом проверять.

Пользовательский интерфейс
Доступны два раздела
электронного учебника

Популярное
Эти ссылки принесут мне миллионы: Стеклянные двери маятниковые, ося на сайте http://www.aldo-st.ru.